基于現代教學理念下數學項目活動學習課的構建研究
——以高中數學“斐波那契數列”為例

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(杭州第十四中學 浙江杭州 310006)

我們知道，數學項目活動學習課的基本思路為：情境引入、數學花絮、知識背景、教學目標、學習模塊建議、實施建議、評價建議等.活動課可根據某個知識的不同方面劃分為多個模塊，既有理論型模塊，也有實踐動手型模塊.每個學生可以根據自己的喜好選擇最感興趣的模塊進行實踐.每個模塊再給出若干個指導問題，引導學生通過自主探究和討論找出問題的答案.下面以高中數學“斐波那契數列”為例，由教師提出斐波那契數列這一數學知識，指導學生利用課余時間自主探究斐波那契數列在各領域中的應用，最后以小組匯報的形式將研究成果向師生展示.

1 學習目標設計

(1)通過教師講解使學生了解斐波那契數列的歷史及定義.

(2)啟發學生利用類比、歸納、猜想等數學方法探索研究斐波那契數列的性質及特點.

(3)通過學生親歷各種數學活動，自主利用書籍、網絡等現代技術手段學習知識進而解決問題，培養學生的自學能力和收集、加工、整理、利用信息的能力.

(4)通過對現實世界數學素材的收集、整理，讓學生感受生活中的數學無處不在，感受數學美和數學的巨大作用，了解數學與其他學科的關系，激發學習數學的興趣和求知欲.

(5)通過小組合作和成果匯報，培養學生的交流能力和團隊合作意識.

2 學習活動模塊

1202年，意大利數學家斐波那契在他的著作《算盤書》中，提出了一個問題：

假定一對剛出生的兔子一個月就能長成大兔子，再過一個月就開始生下一對小兔子，并且以后每個月都生一對小兔子．設所生的一對兔子均為一雄一雌，且均無死亡，問一對剛出生的小兔一年內可以繁殖成多少對兔子？

師：同學們，你和你的小組成員可以從以下的幾個活動建議模塊中任選一個或多個感興趣的模塊進行研究.

模塊1斐波那契數列的數學奧秘

斐波那契數列具有很多奇妙的數學特征，你能否找出這些特征呢？

問題1上述斐波那契數列是用遞推公式表示的，如果僅僅依靠遞推關系式求解恐怕會很麻煩，你有什么好辦法嗎？它的通項公式是什么？

問題2通過計算和觀察，請你說說斐波那契數列有哪些性質(如通項公式、項與項之間的關系等).

問題3斐波那契數列還與其他一些數學知識有著微妙的聯系，你能找出來嗎(如楊輝三角、黃金分割)？

問題4設計一個計算機的程序，可以求解斐波那契數列的任意一項.

模塊2斐波那契數列與植物

植物界中的眾多植物都偏愛于斐波那契數列，這是偶然的巧合還是大自然的法則？

問題1觀察葉子的生長規律，它與斐波那契數列有什么聯系嗎？

問題2觀察身邊的花朵，說說它們與斐波那契數列的關系.

問題3觀察植物的果實，從中找出斐波那契螺旋.

模塊3斐波那契數列與動物

動物界中也有眾多現象與斐波那契數列有關，你能發現它們嗎？

問題1你知道，蜜蜂的繁殖有什么規律嗎？它與斐波那契數列有什么聯系？

問題2細菌的傳播與斐波那契數列有關嗎？

問題3動物的身上也有斐波那契螺旋嗎？

模塊4斐波那契數列與藝術

斐波那契數列不僅是自然界的設計師，它還給音樂藝術帶來了許多靈感.巴赫的作品《賦格的藝術》背后的數學定理就是斐波那契數列！許多建筑物運用了斐波那契螺旋線使得建筑物設計美輪美奐.

這一晚的刺心魔術，他命名為“鉆心時刻”，在場的許多人檢查過那柄匕首，毫無機關，可它刺入杜朗的胸腔，就是毫發無傷?？勺詈螅至?。一場驚心動魄的魔術，瞬間變成了一樁血案，沒人知道這是一場意外，還是一場謀殺。

問題1請你試著分析斐波那契數列在樂曲中的應用規律，并按照這個規律創作一段簡單的樂曲.如果有困難，也可以請教音樂教師.

問題2樂器中也能找到斐波那契數，請試一試！

模塊5斐波那契數列與高中數學

中學數學中有許多習題的背景也是斐波那契數列的應用.

問題1還記得《數學(必修2)》第90頁的魔術嗎？你能揭秘這個魔術背后的奧秘嗎？你能自己設計一個類似的魔術嗎？

問題2蜂房問題.

問題3爬樓梯問題.

模塊6動手構建神奇的數列

斐波那契數列是如此的神奇，請你也來構造一個神奇的數列，并說明它的神奇之處.

問題1將斐波那契數列的開始2項改變，數列的一些性質發生了哪些變化？

問題2查閱資料了解盧卡數列、托里波那契數列，這些數列與斐波那契數列有什么關系嗎？

3 實施建議

確定小組成員，明確選擇模塊主題；

小組成員明確各自在分組活動中的角色，合作完成項目；

活動期間利用網絡、書籍等資源查找相關資料，遇到困難可以向其他學生和教師求助，采納有效的意見繼續完成項目；

學生進行研究成果的展示，可以是PPT演示，也可以是實物展示、編制簡報等，并在匯報課上解答其他學生的疑問.

4 評價建議

活動結束請思考：在整個活動中有哪些收獲，有哪些困惑，有哪些建議？請記錄在下面的表1中：

表1 活動反饋表

此表一式2份，一份與學生自己的成果作品放在一起，一份上交給教師.

5 活動評價和教學反思

由每位學生填寫學習單中的活動反饋表，將自己在活動中的感受和建議整理好.由師生共同利用學習單中的小組活動計分表給各匯報小組的成果打分，根據分值的高低頒發獎品，所有參與的學生都有獎，以資鼓勵.在學生們的自評反饋中可以看到學生參加這類活動的興趣很高，在資料的收集、加工和整理方面的能力得到了鍛煉，學生之間的交流與合作能力得到了提高.這次的數學活動課學生們的表現非常出色，只能用“驚嘆”來形容筆者的心情，讓筆者感到興奮的不僅僅是斐波那契數列知識本身，更重要的是學生們在探究數學奧秘過程中的精彩表現.

5.1 學生帶給教師的驚喜

活動學習課讓教師看到了學生身上存在著巨大的潛能，作為教師應該要給他們舞臺，讓他們在舞臺上跳出最美麗的舞蹈.比如，音樂組的學生通過了解斐波那契數列在音樂中的應用，利用斐波那契數列自己創作了一首樂曲，將莫扎特的名曲根據斐波那契數列改編之后，使得原本悲傷的樂曲變得歡樂明快;動、植物組的學生找了許多大自然中的奇妙現象，平時也許我們不曾想到花瓣和果實也存在著那么多的數學知識；藝術組的學生根據鋼琴的琴鍵上存在斐波那契數列，結合組員學習民樂的特點，提出中國古典民族樂器是不是也有斐波那契數列存在的猜想？他們提出問題，大膽假設，小心求證，結果他們找到了許多弦數為斐波那契數的彈撥樂器，同時也發現了一些非斐波那契數的樂器.

學習需要動力，學生們內心存在弄清楚某個問題的強烈需求時就會樂意迎難而上，而不再需要外力催促他們學習.比如，數學奧秘組的學生就運用了高中階段沒有教授的特征方程成功求出了斐波那契數列的通項公式，自己閱讀文獻來研究斐波那契螺線的奧秘，他們遇到了沒有學過的知識，可是他們沒有停止、退縮，而是選擇了迎難而上，靠自己和團隊的力量成功獲得了問題的解答.學生們運用現代多媒體技術進行成果匯報，除了使用傳統的PPT之外，還利用了moviemaker制作了電影，并在現場揭秘了劉謙表演過的魔術.豐富多彩的匯報形式，讓所有聽課的教師耳目一新，比起平日里一支粉筆、一塊黑板的上課，這樣的課顯然有意思多了.

5.2 學生活動中存在的問題

學生在該項目學習活動中也暴露出一些問題.一方面，此類數學項目學習活動需要學生較強的自主學習能力、尋找問題的能力以及鉆研精神，這些恰恰是學生相對薄弱的，因此在整個學習活動過程中，教師還是要起主導學生學習的作用.另一方面，由于課業壓力和時間關系，并不是所有的學生都參與到了活動中來，個別小組只有幾位學生在真正實踐操作，更多的學生則成了看客.可能學生很少接觸這樣的學習方式，因此對于學生而言，他們喜歡教師上這樣的課，但是如果僅僅是聽聽這樣的趣味數學課，而不用他們動手，他們會更樂意，但這與設計這類課的初衷是相悖的.因此如何真正調動學生自主學習探究的積極性，這是值得教師思考的問題.

學生的成果數學味還不夠濃，學生更愿意去了解數學與現實生活的事例，而不愿意去研究斐波那契數列的數學本質和定理.對于枯燥的數學更多的學生還是避而遠之.數學課的學習如果缺少了數學味，那么就缺失了核心的內容，因此在開設數學項目活動課時要注意與普通的研究性學習區分開來，要注意活動中的數學元素，要指導學生發現現象背后的數學本質，從而建立起聯系.比如，魔術組的學生開始時僅僅只會破解課本上的一個魔術，認為只是由于斜率不同造成的視覺誤差.后來他們研究了連續3項斐波那契數的一個運算性質后，發現了魔術背后的真正奧秘，一旦掌握了這個數學奧秘,他們不僅能破解魔術，還能自己創造魔術了.

5.3 教師的收獲與困惑

在開展數學項目活動學習的過程中，解決問題所需的知識儲備不足、解決問題的方法多樣、解決過程的不確定性，讓筆者感到力不從心，感受到要成為一名優秀的教師還需要更多的積累和提高.與其說是筆者教育學生，倒不如說和學生一起在活動中學習、提高.教師在教學過程中需要不斷調整自己的角色，而不再永遠是“正確的指導者、真理的化身”.在項目學習準備階段，教師應該是設計者，需要創設好的問題環境，激發學生自主解決問題的積極性和創造性.在項目學習實施階段，教師則是組織者、咨詢者或者點評者，幫助學生在主動探索活動中，發現數學知識的現實意義、應用價值等；幫助學生學會用數學的眼光看待現實生活背后蘊含的數學知識；幫助學生動手制作活動成果等.

在這次的數學活動學習課上，師生交換了位置，學生們成了教師，成了自己的先生.筆者相信學生們通過自己的研究和學習，掌握的斐波那契數列知識很牢固，將來很長一段時間都不會忘記今天這一課的內容.這也是這類數學項目活動課的價值所在.數學項目活動學習課對于培養學生對數學的興趣和熱愛是很有意義的，通過學習課學生喜歡上了數學，有了學好數學的內在動力，同時這樣的活動學習課也鍛煉了學生之間的交流能力和團隊協作能力，這些能力也都是平時學習課本知識時無法習得的.因此，要想讓學生學好數學，那就讓他們熱愛數學吧！要想讓學生熱愛數學，那就讓他們在實踐中體會數學的魅力和價值吧！讓他們感受到數學也是可以在活動學習課中學習和掌握的！

參 考 文 獻

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[5] 馬茂年，俞昕.課堂教學回歸“數學化”的討論和分析——以高中“數學歸納法”的教學為例[J].數學教育學報，2013，22(3)：83-84.

[6] 顧予恒，馬茂年.數學選修活動課堂精彩紛呈——以人教A版《數學(必修3)》的閱讀思考材料“概率與密碼”為例[J].中學教研(數學)，2014(1)：7-12.