追問反思 聯想求解
——一道二元最值題的教法探究

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(如東高級中學 江蘇如東 226400)

近年來，給出二元變量的約束條件、求二元變量的最值問題,出現在各類考試中.這類題目所涉知識面廣、入口寬、方法多、能力要求高，學生很難又快又準地解決問題.筆者在教學中遇到一道二元最值題，本文將筆者與學生共同探究這類問題解法的過程記錄下來，供大家參考.

1 題目展示

題目已知點P(x,y)的坐標滿足

2 師生共同探索

2.1 熟悉問題

圖1

讓學生認真讀題，用線性約束條件可以作出可行域(如圖1).

師：有哪些易錯的地方？

生1：注意不等式中等號能否取到，也就是分清可行域的邊界是虛線還是實線.

2.2 深入理解問題

2.3 函數與導數角度

方法1(常規方法)若x=0，則

師：分子、分母同除以x可以直接得到斜率，從而達到減元的目的.用常規方法解決這道填空題思路簡單，但需要分類討論，計算量大，耗時過長，容易發生計算錯誤.目標還是減元，同時減少分類討論的情形，方法1還能簡化嗎？

生3：我觀察到可行域中y≥0，如果分子、分母同時除以y，討論情況將會減少.

方法2(常規方法的改良)若y=0，則x<0，從而

從而

當t→-∞時，

又

于是

師：對比2種方法，哪種更優？

生4：方法1和方法2同樣是減元，分式的分子、分母分別同時除以x和y，方法2中少討論一種情形，運算量明顯減少.

2.4 解析幾何的角度

師：分母是根式，由此能聯想到什么公式？

圖2

從而

從而

sin∠DOP=0.

師：方法3和方法4都是轉化為解析幾何中含根號的公式解決問題.方法4將距離比值轉化為三角函數，明顯簡化，那么可以直接轉化為三角函數解題嗎？

2.5 三角與向量的角度

方法5(三角代換)因為

于是

所以

方法6同方法5可得

從而

即

師：由方法4聯想到三角函數方向，方法5和方法6都是轉化為三角函數解題.方法5在求三角函數的定義域時，利用直線的斜率與傾斜角的關系;方法6利用圖形的旋轉變換解決值域問題.本題一直使用數形結合的思想，哪些數學分支充分體現了數形結合思想？結論分式與什么公式的變形相似？

由可行域得

從而

于是

2.6 特殊化

師：作為填空題，可以“猜”嗎？

2.7 基本不等式的角度

師：這是一個二元變量問題，可以聯想到基本不等式.為什么不用基本不等式呢？

生10：這道題的變量已經有了范圍限制，x,y不能保證同號，不等式中等號成立的條件不能滿足.基本不等式一般只能取到最大值和最小值中的一個，同時算出最大值和最小值很困難，而本題需要得到取值范圍，用基本不等式解決比較困難.

3 拓展訓練

3.1 變式訓練

師：可以變結論嗎？

生11：已知點P(x,y)的坐標滿足

注：利用已有題源，不改變條件，可以得到更多結論，不贅述了.

師：可以變條件嗎？

生12：條件可以變少！已知點P(x,y)的坐標滿足

師：怎么想到可以去條件的？

師：本題的解決流程可以用圖3表示.

圖3

師:這也是我們解題的一種模式.課后考慮2個練習題.

3.2 鞏固訓練

1.已知實數x,y，滿足不等式

注：題1是線性條件下的二元最值問題，題2是非線性條件下的二元最值問題.

4 教法反思

(1)波利亞認為解題要回歸到定義，掌握那些在專業術語后面數學對象間的實際關系.

高斯說過：在數學中，關鍵的不是記號而是概念.按照新課程標準，對數學概念掌握要達到3個層次：第一層次，了解、模仿(正向運用)；第二層次，理解、發現、領悟(逆向運用)；第三層次，遷移、探索、內化(變形運用).在本文中，聯想點線距、兩點之間距離是逆向運用；聯想三角函數、向量的數量積是變形運用.學生只有概念理解透徹，概念清晰、公式和定理使用靈活，才可能在解題中產生聯想甚至是直覺.

(2)在解題教學中，教師要善于追問.

教師的追問就是引導學生思考已知和未知之間的聯系，得到求解的計劃.學生必須了解問題的文字敘述，教師可以要求學生重新敘述題目，而學生應能流利地重新敘述.學生應當能夠指出問題的主要部分，即需要求解的結論、已知數據、條件，甚至問題的難點.在本文中，教師追問的主要問題有：未知什么,已知什么,用什么方法在已知和未知之間搭建橋梁,難點是什么.追問問題必須高于學生的思維,同時又讓學生經過努力能夠解決；追問的問題必須是解決整道題的關鍵；追問就是為了指導學生的思考方向.

(3)解題教學最后一環應該是反思.當解題完成時，教師要組織學生反思，讓他們反思解題過程、所用的知識和方法，尋求解法之間的關聯，尋求一解多題，尋求變題，反思可以充分發揮一道題目在教學中的作用.在本文中，每種方法給出以后，師生都在反思，學生通過反思，可以鞏固知識，提煉方法，提升能力，激發學習數學興趣，并進一步認識到：“沒有任何一個題目是徹底完成的，總還會有些事情可以做；在經過充分的研究和洞察以后，我們可以將任何解題方法加以改進；而且無論如何，我們總可以深化我們對答案的理解.”[1]

(4)解題教學中要注重引導學生將問題特殊化.特殊化是從考慮一組給定的對象集合過渡到考慮該集合中一個較小的集合，或僅僅一個對象，特殊化在求解問題時非常有用.生8的解法就是特殊化，將極端情況計算出來，然后猜測一般的結論.教師要創造機會讓學生猜，要多出開放題讓學生去發散思維，允許學生適當跳步，先鼓勵學生大膽假設，后引導學生小心求證.

參 考 文 獻

[1] 波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2007：12