排列組合問題的破解藝術

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(青田教師進修學校 浙江青田 323900)

“排列與組合”是組合學中最基本的概念，具有廣泛的實際意義和現實應用．工農業生產和日常生活中的許多分工、選配、排序、數字、列隊的種數或個數等計數問題，往往需要動用排列組合知識來思考和處理．一些看似簡單與平常的拍照、選派、分配問題，運用排列組合知識解決后，其龐大的數值常常讓我們驚奇不已；一些有條件限制的或表面復雜的排隊、調配、數字問題，只要采用了巧妙的思考方式與恰當的應對模式，往往能使求解出奇制勝．

“排列與組合”在高中數學中是一塊相對獨立又獨具魅力的知識內容(與其他數學知識聯系較少)，而對學生的基本數學素養和數學能力卻具有獨有的檢測功能和良好的考查功效，是每年高考必考的重點內容之一，但同時也是學生平時最費解或最懼怕的題型之一，更常常是高考中得分率最低的考題之一．究其原因緣于排列組合問題的求解往往需要縝密的思維方式與獨特的解決方法，思考稍有不慎或考慮稍有不周，便會出現計數的“重復”或“遺漏”而導致答案的嚴重偏差．

為此解決排列組合應用問題必須“講究策略、講求實效、尋求技法、追求效率”，力求“強攻”和“輕取”并舉、“通法”和“妙招”并重，以求實現解題過程的“最優化”和解題效應的“最大化”．本文簡明地闡述破解排列組合問題的“五大基本藝術”．

1 求解之序：整體分類，局部分步

面對一個復雜的計數問題，人們往往通過分類或分步的方法把它分解為若干個簡單的計數問題，在解決這些簡單問題的基礎上，將它們整合起來而得到原問題的答案．分類加法計數原理和分步乘法計數原理(統稱為“基本計數原理”或簡稱“計數原理”)是解決計數問題最基本、最重要的方法，它們既為解決許多實際應用問題指明了最基本的思想策略，更為解決實際計數問題提供了最重要的技術工具．

排列、組合是2類特殊而重要的計數問題，其求解的基本手法是準確地利用2個計數原理，進行合理地“分類”與“分步”．在具體操作中常常是“步”與“類”有機結合，交叉融合，可以是“類中有步”，也可以是“步中有類”.但在實際運用時，除了可直接分步就能簡便求解的問題之外，總體上較為通用的求解程序是“整體分類，局部分步”(即先分類再分步)，這樣會使問題的處理“更為有序、更易把控”．

例1從0,2中選1個數字，從1,3,5中選2個數字，組成無重復數字的3位數，其中奇數的個數為

( )

A．24 B．18 C．12 D．6

(2012年北京市數學高考試題)

解先按所求奇數的形態分類，每一類再以“個位、十位、百位”的次序分步選數完成．

(1)3位奇數形如“奇偶奇”，有3×2×2=12種；

(2)3位奇數形如“偶奇奇”，有3×2×1=6種．

故共有12+6=18種，選B．

說明這是一個常見的“數字問題”，解法常常不唯一．只要先準確分類，再合理分步，問題便能迎刃而解．

圖1

例2如圖1，一環形花壇分成A,B,C,D這4塊，現有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為

( )

A．96 B．84 C．60 D．48

(2008年全國高考數學大綱卷試題)

解法1先按A,C是否選種相同的花分類，再按A-C-B-D的次序分步種花．

(1)若A,C種相同的花，則有4×1×3×3=36種；

(2)若A,C種不同的花，則有4×3×2×2=48種．

故共有36+48=84種，選B．

解法2按選種幾種花來分類求解．

故共有24+48+12=84種，選B．

2 解題之要：先組后排，不重不漏

解決排列組合問題要統籌謀劃，講究策略．首先要弄清是排列(有序)問題，還是組合(無序)問題，或是排列與組合的混合問題．即搞清完成這件事時，是否與元素的順序(位置)有關．事實上，排列與組合既有區別，又有聯系．所有的“排列”都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，所有的“組合”若補充一個階段(排序)則轉化為排列問題．破解排列組合綜合問題最基本的策略藝術為“先選取元素(先組合)，后擺放順序(后排列)”，簡稱為“先選后排”或“先組后排”．

準確合理地“分類”與“分步”是求解排列組合問題最基本也最重要的技術手段．準確完整的“分類”務必達到：類與類之間必須互斥(類不相容、類不重復)，總類必須完備(類須齊全、類不遺漏).為此分類的標準必須前后統一,合理合適的“分步”務必做到：步與步之間互相獨立、互不干擾并確保連續性(但實際操作時，步與步的順次可以視具體情形靈活安排與處理)．由此再依據分類相加與分步相乘這2個基本計數原理，穩抓穩打，逐步推進，便能確保計數結果的“不重不漏”．

例3現安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加上海世博會志愿者服務活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機4項工作之一，每項工作至少有一人參加．甲、乙不會開車但能從事其他3項工作，丙、丁、戊都能勝任4項工作，則不同安排方案的種數是

( )

A．152 B.126 C.90 D.54

(2010年湖北省數學高考試題)

解按題意某一項工作必有2人去做，由此確定一個分類標準；再按“先選人再排人”(即先組后排)的思想求解(如先安排司機工作，再安排其他3項工作)．

故共有18+108=126種，選B．

說明這是一個極其常見的“分工問題”(排列組合混合問題)．解題的關鍵點是正確地理解題意，選擇一個適當的分類標準(分類方式往往不唯一)，再以“先選后排”的策略推進．求解的易錯點為因分類標準不清，易導致“計數重復或者遺漏”．

例4某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有______種．

(2006年陜西省數學高考試題)

解先按題中附加條件(尤其是甲)正確分類，再依照“先選人后派人”的程序求解．

故共有240+240+120=600種不同的選派方案．

說明這是一個有多種附加要求的“選派問題”，題目具有一定的思維含量，也有一定的技術難度．但是只要遵循科學分類、合理分步以及“先選后派”的應對法則，就能保證求解結果的“不重不漏”．

3 破解之策：特殊為先，正難則反

解決有限制條件(即有特殊要求)的排列組合問題，從理論上講大體有2種處理方式:一種是“先行處置沒有特殊限制的部分，而后再處理有特殊要求的部分”；一種是“先行處置有特殊限制的部分，而后再處理沒有特殊要求的部分”．但實踐經驗向我們昭示這樣一個事實：“特殊為先”的策略更易操控，更顯自然，更加便捷，也更富藝術．也就是說，在思考和處理有限制條件的排列組合問題時，選用“特殊元素，優先處理；特殊位置，先行考慮”的解題策略將會更勝一籌．

破解排列組合問題的常規思維是正面入手，順向思考，按元素的性質進行科學分類，按事件發生的過程進行合理分步，采用“直接法”正面出擊，分解突破．然而有些問題直接從正面求解，會帶來繁雜的分類、繁復的演算．此時反其道而行之，反面入手，逆向思索(依照“逆反思維原則”：當沿一個方向進行思維難以奏效時，逆向思維往往就能解決)，采用“間接法”排除的思想(從所有情形中排除不合條件的部分)，即運用“正難則反”的策略反而使問題的求解“化難為易、化繁為簡”．

例5用0,1,2,3,4,5這6個數字，可以組成多少個數字1不能在個位且數字2不能在十位的沒有重復數字的6位數？

解法1用直接法．數字0,1,2是3個特殊元素，而個位、十位和首位是3個特殊的位置．現以“特殊數字0,2”是否在“特殊位置——個位”分類求解：

故共有192+234=426個．

解法2用間接法．正面解決比較繁瑣，則反面求解．易知沒有重復數字的6位數共有(6!-5!)個，其中數字1在個位的6位數有(5!-4!)個，數字2在十位的6位數有(5!-4!)個，數字1在個位且數字2在十位的6位數有(4!-3!)個，則符合題意的6位數共有

(6!-5!)-2(5!-4!)+(4!-3!)=426個．

說明這是一個有多重限制的“數字問題”，乍一看較難入手．解法1運用“特殊為先”的策略尋找到求解突破口，雖然過程復雜，但入口有序，秩序井然，步步推進．解法2依照“正難則反”的策略，反向思考，竟然使這個復雜問題的求解變得簡便快捷、干脆利落．

例6現有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張.從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數為

( )

A．232 B．252 C．472 D．484

(2012年山東省數學高考試題)

故滿足條件的抽取方法共有560-16-72=472種，選C．

4 解圍之技：捆綁插空，隔板構造

面對排列組合問題,常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法和特征分析法．其求解的一般技法為：首先要搞清需要完成的是怎樣一個事件，確定完成該事件所需的元素及其個數；其次是判斷完成該事件是否與順序(位置)有關，確定是排列問題還是組合問題或是排列組合混合型問題；再次是分析完成該事件是分類還是分步或是既分類又分步，確定選擇分類加法計數原理或分步乘法計數原理；最后一般是按照“先分類后分步、先組合后排列、先特殊后一般、正向難則逆反”的基本思想原則，列式、運算、結果、驗證、作答．

應對排列組合問題,常規的解題方法有：分類法(采用元素分析法，特殊元素優先處理)、占位法(采用位置分析法，特殊位置優先考慮)、排除法(排法總數減去不合條件排法數)．然而有些問題要求詭怪，條件奇特，還需要掌握一些“特殊技巧、特別章法”：例如相鄰問題“捆綁法”處理、不相鄰問題“插空法”處理、相同元素問題“隔板法”處理、分排問題“直排法”處理、定序問題“排除法”處理；或通過畫簡圖分析、小數字處理與實際試驗，從直觀具體中尋求解題突破；或通過化歸轉化、構造模型及概率分析，實現快速求解．

例73位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站2端，3位女生中有且只有2位女生相鄰，則不同排法的種數是

( )

A.360 B.288 C.216 D.96

(2009年四川省數學高考試題)

說明這是一個平常多見的“排隊問題”，同時涉及到元素“相鄰”與“不相鄰”及其他要求，綜合運用“捆綁法”和“插空法”這2種特殊的求解技巧，可以有效地加以解決．

例8(原創題)已知一個袋子內共有10個小球，如果連續不放回地摸取小球，且每次只能摸取1個小球或2個小球，那么摸完該袋子內的10個小球共有多少種不同摸法？

解假設摸完這10個小球共有an種不同摸法，則容易知道a1=1,a2=2,a3=3．另外易知，若第一次摸1個小球，則有an-1種不同摸法；若第一次摸2個小球，則有an-2種不同摸法．當n>2時，由加法計數原理，得an=an-1+an-2(遞推公式)，于是得出a4=5,a5=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.

說明這是一個平時常見且較為復雜的“摸球問題”，難以直接運用排列數與組合數的計算公式來求解，需要尋求特別的思考方式和特殊的計算手段加以解決．這里通過對第一次摸球個數的分類分析，“構造”得出一個遞推公式an=an-1+an-2成為解題的著力點和突破口，使一個復雜的計數問題頓然之間柳暗花明，豁然開朗，進而巧妙、快速地得以求解．若利用以上遞推關系式，還可以求得其一般計數公式

由本例可以推廣出更為一般的“摸球模型”的計數方式：設有一堆球共有n個，若每次可不放回地摸取k個球，其中1≤k≤m,m≤n，假設摸完這堆球的不同方法共有an種，則

an=an-1+an-2+…+an-m，

并容易得出a1=1,a2=2,a3=4,…,am=2m-1．

5 檢驗之法：多方求證，殊途同歸

直面“平常課堂”、“課外作業”抑或“高考考場”，學生應對排列組合綜合問題，常常會出現“解法多多，答案諸多；求法一變，答案亦變；想法精巧，答案不巧”的狀況，有時甚至呈現“望題興嘆，遇題發呆”的境況，部分學生不免發出排列組合題的分數怎么這樣難拿的感嘆聲！于是，時常會出現這樣的景象：學生們常常是即便“做對了題目、選準了答案”，卻仍然對自己的解答與結論缺乏“絕對的把握、應有的自信”．

仔細深究，原因在于排列組合問題往往“蘊含深厚，條件隱晦；要求奇特，暗藏玄機；題型多變，解法靈活”，設置的情境常常具有一定的復雜性或迷惑性，審題稍不留神或思考略有不周，便步入思維誤區．或以偏概全，一失足而成千古恨；或交叉重疊，畫蛇添足而徒無功．求解排列組合問題必須養成“解后反思和檢查驗證”的好習慣，采用“多方求證，殊途同歸”，是確保尋求到正確答案的“必要之舉、重要之法”．

例9從3名骨科、4名腦外科和5名內科醫生中選派5人組成一個抗震救災醫療小組，則骨科、腦外科和內科醫生都至少有1人的選派方法種數是______(用數字作答)．

(2013年重慶市數學高考試題)

解法1(直接法)先按“5人醫療小組組成”分成6類，每1類再分步選人處理：

故共有120+180+60+120+90+60=590種．

792-125-55-21+1=590種．

例10方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{-3,-2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中,不同的拋物線共有

( )

A．60條 B．62條 C．71條 D．80條

(2012年四川省數學高考試題)

(1)若b=-3,則

(2)若b=3,則

以上2種情況下有9條重復，故共有16+16-9=23條；同理當b=-2或b=2時，有23條；當b=1時，有16條.故共有23+23+16=62條．

說明這是一個計數難度較大的“幾何問題”，綜合運用排列組合公式求解是命題的本真用意，但很容易忽視重復出現的18條拋物線，致使錯選答案D．而拋物線條數眾多，難以用直觀方法驗證其計數結果的正確性．“列舉法”雖然表面過程復雜繁瑣，但只要操作有條不紊，各種情景可以盡收眼底，一覽無遺，常常是解決排列、組合、概率等問題的有效方法．對于排列組合問題，要善于一題多解，多方驗證，以檢驗求解過程的合理性和準確性．

參 考 文 獻

[1] 蔣海甌.“知其然”，更知其“所以然”[J].中學數學教學參考(上旬)，2014(1/2)：138.