教學研得教法透 課堂縱橫得自由
——高三復習課“數列求和”教學設計

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(溧水高級中學 江蘇溧水 211200)

近期，筆者在全市范圍內開設了一節公開課，經過3次洗課，把一些繁、難的例題和習題刪去了，課堂中講解的題目看似簡單，但是筆者認為雖然它們簡約而不簡單，學生在教師精心設計的課堂教學的潛移默化中，逐步學會觀察、學會探索、學會研究，從而提升學生的綜合素養.下面筆者將本節課的教學設計整理如下：

1 教材分析

本節高三復習課為“數列求和”第一課時，是學生在復習了等差數列和等比數列及其前n項和后安排的內容，學生已經有了數列有關知識的基礎，因此主要針對一些既非等差又非等比數列的求和方法進行歸納、總結.由于數列求和的方法很多，本節課就著重介紹其中一種方法：裂項求和.

2 教學目標

2.1 知識技能

會運用等差、等比數列的前n項和公式并結合裂項等方法解決一些其他的數列求和問題.

2.2 數學思考

經歷用等差、等比數列的前n項和公式解決一些其他數列求和問題的過程，充分認識感受裂項求和方法的運用.

2.3 解決問題

會運用裂項解決相關數列的求和問題.

2.4 情感態度

經歷歸納數列求和的過程，培養學生觀察、比較與歸納的能力，在相關活動中設計問題、解決問題，并引導學生學會辨析，培養問題意識與質疑精神.

3 教學過程設計

環節1課前熱身，自主回顧

(1)等差數列的求和公式為______.

(2)等差數列前n項和公式的推導過程是怎樣的？用了什么方法？

(3)等比數列的求和公式為______.

(4)等比數列前n項和公式的推導過程是怎樣的？用了什么方法？

(5)你所知道的求和方法有哪些？

本環節要求學生課前完成，必要時翻看課本，課上只要適當點撥即可.

設計意圖這幾個問題都是幫助學生回憶等差數列和等比數列求和公式的一些基本概念、方法，即使學生遺忘了，也只要課前翻看課本，很快就能解決.問題(5)意在讓學生回憶所知道的求和方法，為后面上課作好鋪墊，節省不必要的時間.

環節2課前測試，查漏補缺

(1)3+5+7+9+…+99=______;

(2)1+3+5+…+2n+1=______;

(3)1+2+4+…+2n=______;

(4)1+a+a2+…+an=______.

本環節要求學生在課堂前幾分鐘完成，然后教師講解，并適當補充，強調易錯點.

設計意圖該題組的設計是針對等差、等比數列求和公式的簡單運用，從學生熟悉的等差、等比數列做起，針對其中幾個易錯點可設計項數問題以及等比數列求和時對公比的討論等，讓學生在做題的過程中不斷發現錯誤，糾正錯誤，真正參與到課堂中去.

環節3例題精講，夯實雙基

例1求和：

師：這里運用了什么方法？

生1：裂項求和法.

多媒體課件突出顯示：逆序求和法、錯項消去法、裂項求和法.

師：看例1的變式1：

變式1求和：

生2：也是用裂項求和，根據

(生2在敘述的同時展示他的做法.)

生3(迫不及待):錯了！

(生2笑了，雖有些羞赧，但不感到尷尬，長期訓練的效果.)

師：機械套用了裂項求和法，豈能不錯!說說怎么錯的？

師：那怎么才能避免這種錯誤呢？

生4：最好的方法就是寫出來后合并檢驗一下.

師：裂項對了，后面呢？

生5：最后剩下的項也不對，不止2項！

師：剩下的項數又怎么判斷？

生6：我是用不完全歸納法，多寫幾項，看看剩下多少，然后不完全歸納出最后剩下多少項.

生7：我覺得可以把正的項和負的項分開寫，寫成：

它們的分母都是連續的整數，剩下的項數一目了然！

設計意圖在裂項求和中，“系數的配平”和“確定最后剩余的項數”是難點，也是重點.這里采用讓學生示錯，自主糾錯，討論得到正確的結論，讓更多的學生參與教學是新課標的一個主要目標.只有當學生自己提出問題，解決問題后，所涉及的知識才能內化為學生本人所有.

師：很好！用裂項求和時要注意檢驗.我們再看看下面的問題怎么解決：

設計意圖裂項求和的概念在頭腦中剛剛形成，趁熱打鐵，需要變形后才能用裂項求和.

有了前面題目的鋪墊，學生就不會隨便下筆了，思考了幾分鐘后，有學生舉手：

生8：先將通項公式變形再裂項：

從而

師：有些數列的通項公式需要進行變形后才能用裂項求和的方法，你能總結下裂項求和的通項公式有什么特征嗎？

學生歸納總結可以裂項求和的數列的特征為：首先是個分式，另外分母上2個相乘的式子差是常數.同時學生也歸納出裂項的通項公式：

你能寫出一些能用裂項方法進行求和的數列嗎？

設計意圖通過前面幾次變式的討論，讓學生自己總結出可以裂項的通項公式的特點，培養學生善于觀察和總結歸納的能力，而且最后讓學生舉出相應的可以裂項的通項公式，培養他們對所總結知識的運用能力，培養學生思維的靈活性.

環節4鏈接高考，凸顯主題

師：下面這2道題都是由高考題改編而來，大家想想怎么做？

例2設數列{an}為等差數列，對任意n∈N*，an≠0,公差d≠0，求證：

例3求和:tan1·tan2+tan2·tan3+tan3·tan4+…+tann·tan(n+1).

師:觀察式子的特點,聯想我們學過的公式及變形,用哪個公式合適呢?

生10:兩角差的正切公式.因為兩角和的正切公式變形之后只有加號沒有減號,不滿足相消條件.只有兩角差的正切公式

經過變形得到

出現減號則前后2項才能相消.

設計意圖讓學生體會裂項求和在高考中的呈現形式，看到它的價值所在，才能激發學生勇攀高峰、學習新知的欲望.

環節5鞏固練習，新知升級

(一名學生板書，其他學生糾正，評判對錯及過程方法.)

設計意圖設置鞏固練習，意在檢驗學生對這節課的掌握程度，更讓學生體會要求和，必須先求通項公式的重要性；同時讓沒有完全掌握好的學生暴露自己的偏頗認識，然后教師進一步幫助認識模糊的學生澄清認識.以具體的問題，強化這類通項公式的特點，便于學生理解其結構的內涵.

環節6課堂小結，結語點金

你知道的數列求和方法有哪些？這節課你有哪些收獲？

設計意圖通過最后幾分鐘的總結交流，讓學生重溫重點、難點、知識的梳理、方法的提煉，保證一節課清晰的脈絡，教師適時點睛、補充，幫學生將所學知識納入自己的認知結構中去，只有這樣，課堂效果才能持久.

4 評價與反思

本課例教學以教師引導下的自主探究活動為載體，力爭從“求簡”入手，以最貼近學生思維“最近發展區”的問題為支點，引導學生展開對數列求和方法——裂項求和的研究.在變式中，注重對學習方法的指導、數學思想的滲透、數學思維的深化、思維能力的提升.

4.1 選擇適宜的“問題”來驅動學習

問題是探究性教學的起點，問題的選擇或設計要難易得當，要讓學生處于“跳一跳，摘到桃”的狀態;問題還應具有發散性，即解決問題方法的多樣性、條件或結論的可變性，這一問題的解決能引發新的問題產生，形成“問題鏈”，有了問題學生就有了思考與討論的方向，從而能持續地驅動學生進行探究，激發思維，深化思考.

數列內容是高中數學的難點，而數列求和中的裂項求和是教學的重點與難點.對于第一輪復習的高三學生來說，不能過難，教學問題的選擇要簡單，教學的重心就能落在讓學生建構起對數列求和的方法上.而本課例中的課前熱身、課前測試都是簡單題，用于喚醒學生對這部分內容的回憶.例1正好貼近學生的“最近發展區”，起點低，由于問題難度小，全體學生都可以展開自主探究，能夠經歷求和過程的體驗.再進一步通過變式的運用，從中提煉出數列求和的一般形式，形成方法體系，從對問題的變式中，形成“問題鏈”，而每個問題的提出，都會引起學生認知的沖突，引發探究，驅動思維發展.

4.2 重視對過程的反饋與方法的歸納

在高三復習教學中，問題解決后教師要引導學生進行反饋分析，對解決方法進行評價，啟發學生自我調控，引導學生發現思路，啟迪心智，發散思維.在方法歸納中，先散后斂，提練通性通法，聚合思路，提升思維.通過反饋歸納讓學生能夠理清解題思路，生成解題方法，反饋解題過程，優化解題方法，弄清解題通法，發現解題巧法，形成解題體系，完善解題網絡.而教師適時地引導是不可缺少的，只有經過教師的引導，學生才能同化新解法，建構新體系.方法的歸納是對解題的升華,在本課例中，讓學生自主探究，充分發散，最后總結出裂項求和的一般形式，加深了對數學本質的理解.

4.3 要著力發展學生的數學思維

復習教學的核心是通過優化學生的問題解決過程，促進學生思維的發展.因此在復習的每個環節，無論是問題解決策略的形成階段——思路的產生和方法的生成，還是在類比遷移階段——變式拓展和方法遷移，教師都不能越俎代庖,要留足時間讓學生獨立思考、自主探究、互相討論和反饋歸納.教師要在適時、恰當、有度地引導與追問中引發學生內心的沖突，打破原有認知結構的平衡狀態，啟迪心智、驅動思維，使學生進入問題探究之中.學生在持續不斷的思考中學會用自己的思維方式構建解題策略，不斷糾正錯誤，使思維不斷延伸和優化.在本課例中，學生在例1的基礎上容易產生思維定勢，在變式1中就出現錯誤，引發認知沖突，如何解決？錯在哪里？激起思維，引導學生開始觀察式子結構、研究已知信息，等等；通過變式、問題的不斷深入，思維持續被驅動，也不斷在深化.未來的高考試題是猜不著的，但只要積攢了豐厚的“勢能”，那么在考場上就能充分地釋放出“動能”，從容應對各種試題.