高中數學建模教學的思考與實踐

史紅專

【內容摘要】數學建模，就是在解決數學問題的過程中運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種有效的數學手段。本文對此進行了分析研究。

【關鍵詞】高中數學 建模教學 實踐 思考

人類之所以發明數學是基于解決生活實際問題的需要，數學建模就是在解決數學問題的過程中運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種有效的數學手段。一些發達國家在中學教育中對數學建模非常重視，我國近年來也提出了讓中學生逐步學會將實際問題歸結為數學模型，然后進行模型求解和模型分析的教學目標。學生如果能把實際應用問題轉化為數學模型，并運用數學方法進行分析、運算和證明，不僅能提高學生的思維能力，還能推動數學素質教育，從而實現數學教學的根本目標。

一、數學建模概述

數學建模，簡言之就是將要解決的實際問題轉化為數學模型。那么，什么是數學模型呢？數學模型不是對現實的模擬，而是通過對現實對象進行提煉、分析以后，運用數學符號和公式、圖表等模擬客觀事物的本質屬性與內在聯系，也就是對現實世界的抽象、簡化的數學結構模擬。

數學建模的一般步驟是：①明確建模目的，分析和收集必要數據和量的關系；②簡化問題，用數學語言進行假設；③選擇關鍵數量關系建立數學模型，建立數量間的定量、定性關系；④運用數學知識和方法求解；⑤將求得的結論回到實際問題中檢驗，如有錯誤進行修正。在解決實際問題的過程中，面對同樣一個問題，可以有多種建模方法，學生可以任意選定。數學建模應以學生為主，教師負責設計與引導，帶領學生積極開展討論和辯論，培養學生主動探索的學習精神，增強他們的數學素質和創新能力，提高他們的數學素養。

二、高中數學建模教學的實際應用

1.將數學建模引入日常課堂教學，使所學知識更系統、更深刻

在學習每章節的教學內容和方法后，教師都可以帶領學生應用數學建模求解，這樣學生的建模意識就培養起來了，建模方法也能逐漸掌握。

例題1：某服裝店銷售一批睡衣，如果每件50元每天可銷售100件，如果提高售價每漲5元銷售數量就減少10件，已知成本價為20元。求解睡衣定價為多少時利潤最大。

分析：這種應用題型是培養學生創新意識和實踐能力的最好時機，首先應對問題進行抽象，建立相應數學模型，進而求解和驗證。

建模：設每件漲價x元（x≥0），利潤為y元，則每天銷售額為（50 +x）（100-10x）元，成本為20（100 -10x），故0≤x≤10，利潤y=銷售總價-成本總價，所以y=（30+x）（100 -10x）（0≤x≤10）。這樣將這個問題建立成二次函數模型。

像這樣的例題教材中有很多，例如折舊問題、利息問題等，對這類應用問題還可以進行拓展，例如可以改變提問角度、條件互換。另外一類經常需要建模的是幾何題型。由于幾何知識應用廣泛，常與函數、不等式、三角形等相聯系，具有較強的綜合性，常需要建立數學模型求解。

例題2：如圖1所示，某探照燈的軸截面是拋物線x=y2，問平行于對稱軸的光線到拋物線上的入射點在何處時到反射點的光線的路程最短。

圖1

建模：設軸截面是拋物線x=y2，設入射點p的縱坐標為a（a大于0），PQ為從光線入射點p經拋物鏡反射到點Q的光線，求a為何值時PQ最短。

除了教材上的應用題型，在教學中還可以多結合現實生活問題訓練學生的建模思路和建模方法，從生活和社會上的問題出發，選取好素材融入教學活動，例如在學生踢球時，教師可以引導學生設計數學模型解答邊鋒站在什么位置時射門最佳的問題，長此以往可以培養學生的數學意識和發現問題、解決問題的能力。

2.開展以數學建模為主的活動，讓學生深刻理解數學建模的過程與方法

課上開展的一般都是小型建模活動，一般當堂完成，一些比較大的或者復雜的建模可以留在課下。在高中階段至少應為學生安排一次數學建模活動。還應將課內與課外有機地結合起來，把數學建模活動與綜合實踐活動有機地結合起來。例如我班在春季組織了一次騎車郊游活動，每個學生的體力和騎車速度不同，我們就根據這一活動安排了數學建模活動，讓每個學生計算自己以多少速度騎行才能保證自己能夠到達終點。

三、結束語

在高中數學教學中推廣建模教學模式，極大地提升了學生的創新思維，在建模的過程中不僅鍛煉了學生將實際應用問題轉化為數學抽象問題的轉換能力，還培養了學生的直覺思維和想象能力，使他們能夠真正領悟數學的實質和思想。著名數學家懷特海曾說過，“數學就是對于模式的研究”，為了培養學生的建模意識，數學教師應首先提高自己的建模意識，除需要了解數學科學的發展歷史和發展動態之外，還需要不斷地學習一些新的數學建模理論，并且努力鉆研如何把中學數學知識應用于現實生活，結合近年來素質教育中出現的應用型問題和教材中典型的數學建模題對學生進行模仿訓練，打開學生創新意識的思維寶庫。

總之，建模教學是一種有益的嘗試，在教學中大力滲透建模意識是中學素質教育的有效途徑，值得進一步推廣。

【參考文獻】

[1] 胡運紅、張鳳琴、姚喜妍. 新課程標準下的中學數學建模教學改革探索[J]. 數學教學研究，2010（11）.

[2] 張弋戈. 數學建模教學對教師專業發展的促進作用[D]. 首都師范大學，2011.

[3] 郭志輝. 新課程背景下高中數學建模教學研究[D]. 溫州大學，2011.

（作者單位：江蘇省鹽城市大岡中學）