在數學習題開發中培養學生創造性思維

尹中華

摘 要：在教學中充分激發學生的創造性思維的過程是數學教學的重要原則，要培養學生的數學創新能力，必須培養學生的數學創造性思維，培養學生思維的靈活性是數學教學工作的一個重要環節。

關鍵詞：數學教學；創造性思維；習題

良好的思維品質非一朝一夕所能形成的。在教學中，筆者抓住數學習題特點，進行多向思維訓練，有利于學生創新意識的形成和發展。

在數學教學中，“一題多解”是訓練和培養學生靈活思維的一種良好手段，通過“一題多解”的訓練能溝通知識之間的內在聯系，提高學生應用所學的基礎知識與基本技能解決實際問題的能力，使學生逐步學會舉一反三的本領。在教材安排的例題中，有相當多的題目存在一題多解的情況。

例：三角形ABC中，AB=AC，O為圖形（圖1）內一點，∠BAC=80°，∠OBC=10°，∠OCB=20°，求∠CAO的大小。

分析：從條件上看，題目條件都是角，AB=AC，也和角能聯系上，于是想到，從三角形的內角和及外角定理求解。很快可以得出下列角的度數。

■

圖1

嘗試：用方程思想求解，設∠CAO為x，但建立起來的方程都無法求解。但通過角的關系可以獲得信息：OD=CD。從上面的嘗試知道，只從角的角度，是無法求解∠CAO的大小，但通過前面的嘗試，發現了一些邊相等，因此，可以想到求解的第二條思路：通過證明全等（或相似）證明要求的角等于已知角。于是想到挖掘題目中的隱含條件，容易發現∠OBC=10°，∠OCB=20°的值很特殊，不像常見求值題目中給的都是特殊角，其含有隱含條件∠OCB=2∠OBC（幾何題中常常將角的關系通過具體值給出，給解題思路帶來干擾）。所以，可作∠OCB的平分線，構造等腰三角形，將邊和角聯系起來。如圖2：所以，BE=EC，又AB=AC，AE為公共邊。所以∠EAC=∠EAB=■∠BAC=40°；因此AE=BE=CE，由此知：∠CAO小于40°。

猜想：（1）∠CAO=10°；（2）∠CAO=20°；（3）∠CAO=30°。結合圖形我們可以得出最有可能的猜想：∠CAO=20°。易知∠AEO=80°，因此要證∠CAO=20°，只需證∠EAO=30°，∠AOE=80°，因此由猜想獲得了新的思路：證明AE=AO。

在三角形內，證明兩邊相等，常見思路有：

思路1：兩條線段在同一個三角形內，可考慮證明這個三角形是等腰三角形。因此，這里我們嘗試證明△AEO是等腰三角形，這時，又轉化到要證明∠AEO=∠AOE，這正是我們要證明的結論，又走到老路上去了，顯然這條路是行不通的。

■

圖2

思路2：把兩條線段放在兩個三角形中，再證明這兩個三角形全等。而AO所在三角形有△AOD，△AOC，而AE所在△ABE顯然都不和他們全等，因此，考慮構造全等三角形。

如何構造呢？顯然要作一個三角形，使其有一個角與∠AOC相等為20°，因此不難想到作角∠BAE的平分線，交BD于F。這樣，目標轉化為證明△AFE≌△ADO，容易得到∠AFD=60°，所以AF=AD，△ABF∽△ECD。因而，要證明△AFE≌△ADO只需再找一角相等或一邊相等。

■

圖3

顯然，如果找角相等又轉回到了老路上，是行不通的，因此只能再找一邊相等，而AE=AO是要證明的結論，因此，結論轉化為證明：FE=OD。由于FE和OD不在同一個三角形內，無法用等角對對邊定理來證明，且這時通過證明這兩邊所在三角形全等去證明也是行不通的。

結合前面的發現，圖中有角平分線和相似三角形，獲得新的思路：通過比例轉換去證明線段。

由AF是∠BAE的平分線，所以■=■，所以■=■；由△ABF∽△ECD，所以■=■，所以■=■，而AE=CE，所以EF=CD=OD。所以問題得解。

“一題多解”是加深和鞏固所學知識的有效途徑和方法，充分運用學過的知識，從不同的角度思考問題，采用多種方法解決問題，這有利于學生加深理解各部分知識間的縱、橫方向的內在聯系，掌握各部分知識之間的相互轉化，所以教師在教學過程中要多挖掘一些行之有效的一題多解例題和習題，使學生的思維應變能力能得到充分的鍛煉和培養。

摘 要：在教學中充分激發學生的創造性思維的過程是數學教學的重要原則，要培養學生的數學創新能力，必須培養學生的數學創造性思維，培養學生思維的靈活性是數學教學工作的一個重要環節。

關鍵詞：數學教學；創造性思維；習題

良好的思維品質非一朝一夕所能形成的。在教學中，筆者抓住數學習題特點，進行多向思維訓練，有利于學生創新意識的形成和發展。

在數學教學中，“一題多解”是訓練和培養學生靈活思維的一種良好手段，通過“一題多解”的訓練能溝通知識之間的內在聯系，提高學生應用所學的基礎知識與基本技能解決實際問題的能力，使學生逐步學會舉一反三的本領。在教材安排的例題中，有相當多的題目存在一題多解的情況。

例：三角形ABC中，AB=AC，O為圖形（圖1）內一點，∠BAC=80°，∠OBC=10°，∠OCB=20°，求∠CAO的大小。

分析：從條件上看，題目條件都是角，AB=AC，也和角能聯系上，于是想到，從三角形的內角和及外角定理求解。很快可以得出下列角的度數。

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圖1

嘗試：用方程思想求解，設∠CAO為x，但建立起來的方程都無法求解。但通過角的關系可以獲得信息：OD=CD。從上面的嘗試知道，只從角的角度，是無法求解∠CAO的大小，但通過前面的嘗試，發現了一些邊相等，因此，可以想到求解的第二條思路：通過證明全等（或相似）證明要求的角等于已知角。于是想到挖掘題目中的隱含條件，容易發現∠OBC=10°，∠OCB=20°的值很特殊，不像常見求值題目中給的都是特殊角，其含有隱含條件∠OCB=2∠OBC（幾何題中常常將角的關系通過具體值給出，給解題思路帶來干擾）。所以，可作∠OCB的平分線，構造等腰三角形，將邊和角聯系起來。如圖2：所以，BE=EC，又AB=AC，AE為公共邊。所以∠EAC=∠EAB=■∠BAC=40°；因此AE=BE=CE，由此知：∠CAO小于40°。

猜想：（1）∠CAO=10°；（2）∠CAO=20°；（3）∠CAO=30°。結合圖形我們可以得出最有可能的猜想：∠CAO=20°。易知∠AEO=80°，因此要證∠CAO=20°，只需證∠EAO=30°，∠AOE=80°，因此由猜想獲得了新的思路：證明AE=AO。

在三角形內，證明兩邊相等，常見思路有：

思路1：兩條線段在同一個三角形內，可考慮證明這個三角形是等腰三角形。因此，這里我們嘗試證明△AEO是等腰三角形，這時，又轉化到要證明∠AEO=∠AOE，這正是我們要證明的結論，又走到老路上去了，顯然這條路是行不通的。

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圖2

思路2：把兩條線段放在兩個三角形中，再證明這兩個三角形全等。而AO所在三角形有△AOD，△AOC，而AE所在△ABE顯然都不和他們全等，因此，考慮構造全等三角形。

如何構造呢？顯然要作一個三角形，使其有一個角與∠AOC相等為20°，因此不難想到作角∠BAE的平分線，交BD于F。這樣，目標轉化為證明△AFE≌△ADO，容易得到∠AFD=60°，所以AF=AD，△ABF∽△ECD。因而，要證明△AFE≌△ADO只需再找一角相等或一邊相等。

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圖3

顯然，如果找角相等又轉回到了老路上，是行不通的，因此只能再找一邊相等，而AE=AO是要證明的結論，因此，結論轉化為證明：FE=OD。由于FE和OD不在同一個三角形內，無法用等角對對邊定理來證明，且這時通過證明這兩邊所在三角形全等去證明也是行不通的。

結合前面的發現，圖中有角平分線和相似三角形，獲得新的思路：通過比例轉換去證明線段。

由AF是∠BAE的平分線，所以■=■，所以■=■；由△ABF∽△ECD，所以■=■，所以■=■，而AE=CE，所以EF=CD=OD。所以問題得解。

“一題多解”是加深和鞏固所學知識的有效途徑和方法，充分運用學過的知識，從不同的角度思考問題，采用多種方法解決問題，這有利于學生加深理解各部分知識間的縱、橫方向的內在聯系，掌握各部分知識之間的相互轉化，所以教師在教學過程中要多挖掘一些行之有效的一題多解例題和習題，使學生的思維應變能力能得到充分的鍛煉和培養。

摘 要：在教學中充分激發學生的創造性思維的過程是數學教學的重要原則，要培養學生的數學創新能力，必須培養學生的數學創造性思維，培養學生思維的靈活性是數學教學工作的一個重要環節。

關鍵詞：數學教學；創造性思維；習題

良好的思維品質非一朝一夕所能形成的。在教學中，筆者抓住數學習題特點，進行多向思維訓練，有利于學生創新意識的形成和發展。

在數學教學中，“一題多解”是訓練和培養學生靈活思維的一種良好手段，通過“一題多解”的訓練能溝通知識之間的內在聯系，提高學生應用所學的基礎知識與基本技能解決實際問題的能力，使學生逐步學會舉一反三的本領。在教材安排的例題中，有相當多的題目存在一題多解的情況。

例：三角形ABC中，AB=AC，O為圖形（圖1）內一點，∠BAC=80°，∠OBC=10°，∠OCB=20°，求∠CAO的大小。

分析：從條件上看，題目條件都是角，AB=AC，也和角能聯系上，于是想到，從三角形的內角和及外角定理求解。很快可以得出下列角的度數。

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圖1

嘗試：用方程思想求解，設∠CAO為x，但建立起來的方程都無法求解。但通過角的關系可以獲得信息：OD=CD。從上面的嘗試知道，只從角的角度，是無法求解∠CAO的大小，但通過前面的嘗試，發現了一些邊相等，因此，可以想到求解的第二條思路：通過證明全等（或相似）證明要求的角等于已知角。于是想到挖掘題目中的隱含條件，容易發現∠OBC=10°，∠OCB=20°的值很特殊，不像常見求值題目中給的都是特殊角，其含有隱含條件∠OCB=2∠OBC（幾何題中常常將角的關系通過具體值給出，給解題思路帶來干擾）。所以，可作∠OCB的平分線，構造等腰三角形，將邊和角聯系起來。如圖2：所以，BE=EC，又AB=AC，AE為公共邊。所以∠EAC=∠EAB=■∠BAC=40°；因此AE=BE=CE，由此知：∠CAO小于40°。

猜想：（1）∠CAO=10°；（2）∠CAO=20°；（3）∠CAO=30°。結合圖形我們可以得出最有可能的猜想：∠CAO=20°。易知∠AEO=80°，因此要證∠CAO=20°，只需證∠EAO=30°，∠AOE=80°，因此由猜想獲得了新的思路：證明AE=AO。

在三角形內，證明兩邊相等，常見思路有：

思路1：兩條線段在同一個三角形內，可考慮證明這個三角形是等腰三角形。因此，這里我們嘗試證明△AEO是等腰三角形，這時，又轉化到要證明∠AEO=∠AOE，這正是我們要證明的結論，又走到老路上去了，顯然這條路是行不通的。

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圖2

思路2：把兩條線段放在兩個三角形中，再證明這兩個三角形全等。而AO所在三角形有△AOD，△AOC，而AE所在△ABE顯然都不和他們全等，因此，考慮構造全等三角形。

如何構造呢？顯然要作一個三角形，使其有一個角與∠AOC相等為20°，因此不難想到作角∠BAE的平分線，交BD于F。這樣，目標轉化為證明△AFE≌△ADO，容易得到∠AFD=60°，所以AF=AD，△ABF∽△ECD。因而，要證明△AFE≌△ADO只需再找一角相等或一邊相等。

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圖3

顯然，如果找角相等又轉回到了老路上，是行不通的，因此只能再找一邊相等，而AE=AO是要證明的結論，因此，結論轉化為證明：FE=OD。由于FE和OD不在同一個三角形內，無法用等角對對邊定理來證明，且這時通過證明這兩邊所在三角形全等去證明也是行不通的。

結合前面的發現，圖中有角平分線和相似三角形，獲得新的思路：通過比例轉換去證明線段。

由AF是∠BAE的平分線，所以■=■，所以■=■；由△ABF∽△ECD，所以■=■，所以■=■，而AE=CE，所以EF=CD=OD。所以問題得解。

“一題多解”是加深和鞏固所學知識的有效途徑和方法，充分運用學過的知識，從不同的角度思考問題，采用多種方法解決問題，這有利于學生加深理解各部分知識間的縱、橫方向的內在聯系，掌握各部分知識之間的相互轉化，所以教師在教學過程中要多挖掘一些行之有效的一題多解例題和習題，使學生的思維應變能力能得到充分的鍛煉和培養。