用數(shù)軸，“巧”解題

毛曉兵

摘 要：初中階段，我們學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)中重要的一個概念：數(shù)軸。數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線，它對學(xué)生理解有理數(shù)的概念、比較有理數(shù)大小及有理數(shù)運算起到重要作用。同時數(shù)軸又是非常重要的數(shù)學(xué)工具，通過數(shù)軸，它將數(shù)與形結(jié)合在一起，很好地揭示了數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系。對于某些數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)軸去求解，不僅能夠化難為易、化繁為簡，而且解法直觀、明快。

關(guān)鍵詞：數(shù)軸；作用；求解

初中階段，我們學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)中重要的一個概念：數(shù)軸。數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線，它對學(xué)生理解有理數(shù)的概念、比較有理數(shù)大小及有理數(shù)運算起到重要作用。同時數(shù)軸又是非常重要的數(shù)學(xué)工具，通過數(shù)軸，它將數(shù)與形結(jié)合在一起，揭示了數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系。

一、數(shù)軸有四個方面的作用

1.數(shù)軸能反映出數(shù)形之間的對應(yīng)關(guān)系

所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的一個點表示出來，而數(shù)軸上表示有理數(shù)的點亦可讀出其所表示的一個有理數(shù)。就是說，有理數(shù)與數(shù)軸上表示有理數(shù)的點之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系。

2.數(shù)軸能反映出數(shù)的性質(zhì)

數(shù)軸是一條規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線，有理數(shù)的性質(zhì)可通過數(shù)軸表示出來。原點表示的有理數(shù)——零，是個“中性”數(shù)；有理數(shù)的性質(zhì)符號決定了這個有理數(shù)的點與原點的相對位置：當(dāng)規(guī)定向右的方向為數(shù)軸的正方向時，表示正有理數(shù)的點都在原點的右側(cè)，表示負(fù)有理數(shù)的點都在原點的左側(cè)。

3.數(shù)軸能解釋數(shù)的某些概念

（1）相反數(shù)：將一對相反數(shù)表示在數(shù)軸上，表示這對相反數(shù)的點是一對關(guān)于原點對稱的點。也就是說，表示一對相反數(shù)的兩個點分別位于原點兩側(cè)，并且到原點的距離相等。

（2）絕對值：用數(shù)軸可以形象地解釋絕對值的概念，一個數(shù)的絕對值，就等于表示這個數(shù)的點離開原點的距離。

（3）近似數(shù)：近似數(shù)是與實際接近的數(shù)，用數(shù)軸可表示出某一近似數(shù)的精確度。如，近似數(shù)3的精確度可在數(shù)軸上表示，即3是一個大于或等于2.5且又小于3.5的近似數(shù)。

4.數(shù)軸可使有理數(shù)比較大小形象化

兩個有理數(shù)比較大小，可以借助數(shù)軸這個工具進行。在數(shù)軸上表示的兩個有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

二、對于某些數(shù)學(xué)題，若利用數(shù)軸求解，不僅能夠化難為易、化繁為簡，而且解法直觀、明快

1.用數(shù)軸比較實數(shù)大小，解決求樣本的中位數(shù)的問題

問題1：由小到大排列的一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5，其中x5<-1，則1，x1，-x2，x3，-x4，x5，的中位數(shù)是____________。

分析：要求所給的六個數(shù)據(jù)的中位數(shù)，只要將這六個數(shù)據(jù)從小到大依次排列，求出排在第三和第四的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即可得到這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。本題的難點就是把六個數(shù)按從小到大的順序排列。為了突破難點，我們可以借助數(shù)軸。

解：在數(shù)軸上任取x1，x2，x3，x4，x5表示的點，使x1

■

觀察數(shù)軸知x1

2.用數(shù)軸求字母的取值范圍求值

問題2：若不等式組的解集不在2

■

解：由不等式組x-a>1a-x>-3

所以a+1

由圖2，可知a+3≤2或a+1≥9，即a≤-1或a≥8

3.用數(shù)軸解含有絕對值的方程

■

問題3：解方程：x+3+x-1=6

分析：由絕對值的幾何意義可知，此方程表示在數(shù)軸上求一動點x，使x到定點A（-3）的距離與到定點B（1）的距離之和等于6，如圖3。由數(shù)軸上的點的性質(zhì)可知，這樣的點x有兩個，即表示-4與2的點，所以方程的解為x=-4或x=2。

4.用數(shù)軸取零點，求最值

問題4：若m

分析：在數(shù)軸上標(biāo)出m，n，p的大致位置，如圖4，于是問題轉(zhuǎn)化為在x軸上求一點，使它到m，n，p所對應(yīng)的三點距離的和最小。易知當(dāng)x=n時，它到m，n，p所對應(yīng)的三點的距離之和最小，故當(dāng)x=n時，x-m+x-n+x-p的值最小，最小值等于p-m。

5.運用數(shù)軸變換兩圓的位置關(guān)系

如圖5，數(shù)軸反映兩圓的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，設(shè)⊙O1、⊙O2的半徑分別為R1，R2，圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系可以在數(shù)軸上表示出來，如圖5所示。

■

圖5

問題5：已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和5cm，兩圓的圓心距是6cm，則兩圓的位置關(guān)系是（ ）

A.內(nèi)含 B.外離

C.內(nèi)切 D.相交

分析：由題設(shè)，知：R1-R2=2，R1+R2=8，由圖6知R1-R2

6.借助數(shù)軸，進行代數(shù)式的化簡

■

問題6：已知有理數(shù)a、b在數(shù)軸表示的位置如圖7所示，試化簡：■-a-b

觀察數(shù)軸上字母的位置不難發(fā)現(xiàn)，a+b>0，a-b>0根據(jù)絕對值的意義，很容易去掉絕對值符號，問題迎刃而解。

7.用數(shù)軸找臨界點，求點的象限范圍

問題7：點（x，x-1）不可能在第幾象限。

■

圖8

8.無理數(shù)的理解

問題8：關(guān)于π的理解：

用直徑為1的圓，從數(shù)軸原點沿數(shù)軸滾動一周，所得到的點的位置就是π。

問題9：■的認(rèn)識：

好奇的古希臘人在數(shù)軸上以線段[0，1]為底邊作正方形，以O(shè)為圓心，過O點的對角線為半徑畫弧，交數(shù)軸正方向于D。D點表示的數(shù)是■。

以上是我在初中教學(xué)中，對數(shù)軸的一些用法，感覺數(shù)軸它雖小，但作用很大，用途很廣，借用數(shù)軸可輕松解決多方面的數(shù)學(xué)問題，是研究初中數(shù)學(xué)的有效工具之一，也是培養(yǎng)學(xué)生提高分析解題能力的好工具。

參考文獻：

劉錦海.與數(shù)軸有關(guān)的問題.中學(xué)課程輔導(dǎo)：初一版，2004（08）.

（作者單位 甘肅省酒泉市育才學(xué)校）

？誗編輯 張珍珍

摘 要：初中階段，我們學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)中重要的一個概念：數(shù)軸。數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線，它對學(xué)生理解有理數(shù)的概念、比較有理數(shù)大小及有理數(shù)運算起到重要作用。同時數(shù)軸又是非常重要的數(shù)學(xué)工具，通過數(shù)軸，它將數(shù)與形結(jié)合在一起，很好地揭示了數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系。對于某些數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)軸去求解，不僅能夠化難為易、化繁為簡，而且解法直觀、明快。

關(guān)鍵詞：數(shù)軸；作用；求解

初中階段，我們學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)中重要的一個概念：數(shù)軸。數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線，它對學(xué)生理解有理數(shù)的概念、比較有理數(shù)大小及有理數(shù)運算起到重要作用。同時數(shù)軸又是非常重要的數(shù)學(xué)工具，通過數(shù)軸，它將數(shù)與形結(jié)合在一起，揭示了數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系。

一、數(shù)軸有四個方面的作用

1.數(shù)軸能反映出數(shù)形之間的對應(yīng)關(guān)系

所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的一個點表示出來，而數(shù)軸上表示有理數(shù)的點亦可讀出其所表示的一個有理數(shù)。就是說，有理數(shù)與數(shù)軸上表示有理數(shù)的點之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系。

2.數(shù)軸能反映出數(shù)的性質(zhì)

數(shù)軸是一條規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線，有理數(shù)的性質(zhì)可通過數(shù)軸表示出來。原點表示的有理數(shù)——零，是個“中性”數(shù)；有理數(shù)的性質(zhì)符號決定了這個有理數(shù)的點與原點的相對位置：當(dāng)規(guī)定向右的方向為數(shù)軸的正方向時，表示正有理數(shù)的點都在原點的右側(cè)，表示負(fù)有理數(shù)的點都在原點的左側(cè)。

3.數(shù)軸能解釋數(shù)的某些概念

（1）相反數(shù)：將一對相反數(shù)表示在數(shù)軸上，表示這對相反數(shù)的點是一對關(guān)于原點對稱的點。也就是說，表示一對相反數(shù)的兩個點分別位于原點兩側(cè)，并且到原點的距離相等。

（2）絕對值：用數(shù)軸可以形象地解釋絕對值的概念，一個數(shù)的絕對值，就等于表示這個數(shù)的點離開原點的距離。

（3）近似數(shù)：近似數(shù)是與實際接近的數(shù)，用數(shù)軸可表示出某一近似數(shù)的精確度。如，近似數(shù)3的精確度可在數(shù)軸上表示，即3是一個大于或等于2.5且又小于3.5的近似數(shù)。

4.數(shù)軸可使有理數(shù)比較大小形象化

兩個有理數(shù)比較大小，可以借助數(shù)軸這個工具進行。在數(shù)軸上表示的兩個有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

二、對于某些數(shù)學(xué)題，若利用數(shù)軸求解，不僅能夠化難為易、化繁為簡，而且解法直觀、明快

1.用數(shù)軸比較實數(shù)大小，解決求樣本的中位數(shù)的問題

問題1：由小到大排列的一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5，其中x5<-1，則1，x1，-x2，x3，-x4，x5，的中位數(shù)是____________。

分析：要求所給的六個數(shù)據(jù)的中位數(shù)，只要將這六個數(shù)據(jù)從小到大依次排列，求出排在第三和第四的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即可得到這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。本題的難點就是把六個數(shù)按從小到大的順序排列。為了突破難點，我們可以借助數(shù)軸。

解：在數(shù)軸上任取x1，x2，x3，x4，x5表示的點，使x1

■

觀察數(shù)軸知x1

2.用數(shù)軸求字母的取值范圍求值

問題2：若不等式組的解集不在2

■

解：由不等式組x-a>1a-x>-3

所以a+1

由圖2，可知a+3≤2或a+1≥9，即a≤-1或a≥8

3.用數(shù)軸解含有絕對值的方程

■

問題3：解方程：x+3+x-1=6

分析：由絕對值的幾何意義可知，此方程表示在數(shù)軸上求一動點x，使x到定點A（-3）的距離與到定點B（1）的距離之和等于6，如圖3。由數(shù)軸上的點的性質(zhì)可知，這樣的點x有兩個，即表示-4與2的點，所以方程的解為x=-4或x=2。

4.用數(shù)軸取零點，求最值

問題4：若m

分析：在數(shù)軸上標(biāo)出m，n，p的大致位置，如圖4，于是問題轉(zhuǎn)化為在x軸上求一點，使它到m，n，p所對應(yīng)的三點距離的和最小。易知當(dāng)x=n時，它到m，n，p所對應(yīng)的三點的距離之和最小，故當(dāng)x=n時，x-m+x-n+x-p的值最小，最小值等于p-m。

5.運用數(shù)軸變換兩圓的位置關(guān)系

如圖5，數(shù)軸反映兩圓的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，設(shè)⊙O1、⊙O2的半徑分別為R1，R2，圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系可以在數(shù)軸上表示出來，如圖5所示。

■

圖5

問題5：已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和5cm，兩圓的圓心距是6cm，則兩圓的位置關(guān)系是（ ）

A.內(nèi)含 B.外離

C.內(nèi)切 D.相交

分析：由題設(shè)，知：R1-R2=2，R1+R2=8，由圖6知R1-R2

6.借助數(shù)軸，進行代數(shù)式的化簡

■

問題6：已知有理數(shù)a、b在數(shù)軸表示的位置如圖7所示，試化簡：■-a-b

觀察數(shù)軸上字母的位置不難發(fā)現(xiàn)，a+b>0，a-b>0根據(jù)絕對值的意義，很容易去掉絕對值符號，問題迎刃而解。

7.用數(shù)軸找臨界點，求點的象限范圍

問題7：點（x，x-1）不可能在第幾象限。

■

圖8

8.無理數(shù)的理解

問題8：關(guān)于π的理解：

用直徑為1的圓，從數(shù)軸原點沿數(shù)軸滾動一周，所得到的點的位置就是π。

問題9：■的認(rèn)識：

好奇的古希臘人在數(shù)軸上以線段[0，1]為底邊作正方形，以O(shè)為圓心，過O點的對角線為半徑畫弧，交數(shù)軸正方向于D。D點表示的數(shù)是■。

以上是我在初中教學(xué)中，對數(shù)軸的一些用法，感覺數(shù)軸它雖小，但作用很大，用途很廣，借用數(shù)軸可輕松解決多方面的數(shù)學(xué)問題，是研究初中數(shù)學(xué)的有效工具之一，也是培養(yǎng)學(xué)生提高分析解題能力的好工具。

參考文獻：

劉錦海.與數(shù)軸有關(guān)的問題.中學(xué)課程輔導(dǎo)：初一版，2004（08）.

（作者單位 甘肅省酒泉市育才學(xué)校）

？誗編輯 張珍珍

摘 要：初中階段，我們學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)中重要的一個概念：數(shù)軸。數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線，它對學(xué)生理解有理數(shù)的概念、比較有理數(shù)大小及有理數(shù)運算起到重要作用。同時數(shù)軸又是非常重要的數(shù)學(xué)工具，通過數(shù)軸，它將數(shù)與形結(jié)合在一起，很好地揭示了數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系。對于某些數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)軸去求解，不僅能夠化難為易、化繁為簡，而且解法直觀、明快。

關(guān)鍵詞：數(shù)軸；作用；求解

初中階段，我們學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)中重要的一個概念：數(shù)軸。數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線，它對學(xué)生理解有理數(shù)的概念、比較有理數(shù)大小及有理數(shù)運算起到重要作用。同時數(shù)軸又是非常重要的數(shù)學(xué)工具，通過數(shù)軸，它將數(shù)與形結(jié)合在一起，揭示了數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系。

一、數(shù)軸有四個方面的作用

1.數(shù)軸能反映出數(shù)形之間的對應(yīng)關(guān)系

所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的一個點表示出來，而數(shù)軸上表示有理數(shù)的點亦可讀出其所表示的一個有理數(shù)。就是說，有理數(shù)與數(shù)軸上表示有理數(shù)的點之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系。

2.數(shù)軸能反映出數(shù)的性質(zhì)

數(shù)軸是一條規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線，有理數(shù)的性質(zhì)可通過數(shù)軸表示出來。原點表示的有理數(shù)——零，是個“中性”數(shù)；有理數(shù)的性質(zhì)符號決定了這個有理數(shù)的點與原點的相對位置：當(dāng)規(guī)定向右的方向為數(shù)軸的正方向時，表示正有理數(shù)的點都在原點的右側(cè)，表示負(fù)有理數(shù)的點都在原點的左側(cè)。

3.數(shù)軸能解釋數(shù)的某些概念

（1）相反數(shù)：將一對相反數(shù)表示在數(shù)軸上，表示這對相反數(shù)的點是一對關(guān)于原點對稱的點。也就是說，表示一對相反數(shù)的兩個點分別位于原點兩側(cè)，并且到原點的距離相等。

（2）絕對值：用數(shù)軸可以形象地解釋絕對值的概念，一個數(shù)的絕對值，就等于表示這個數(shù)的點離開原點的距離。

（3）近似數(shù)：近似數(shù)是與實際接近的數(shù)，用數(shù)軸可表示出某一近似數(shù)的精確度。如，近似數(shù)3的精確度可在數(shù)軸上表示，即3是一個大于或等于2.5且又小于3.5的近似數(shù)。

4.數(shù)軸可使有理數(shù)比較大小形象化

兩個有理數(shù)比較大小，可以借助數(shù)軸這個工具進行。在數(shù)軸上表示的兩個有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

二、對于某些數(shù)學(xué)題，若利用數(shù)軸求解，不僅能夠化難為易、化繁為簡，而且解法直觀、明快

1.用數(shù)軸比較實數(shù)大小，解決求樣本的中位數(shù)的問題

問題1：由小到大排列的一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5，其中x5<-1，則1，x1，-x2，x3，-x4，x5，的中位數(shù)是____________。

分析：要求所給的六個數(shù)據(jù)的中位數(shù)，只要將這六個數(shù)據(jù)從小到大依次排列，求出排在第三和第四的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即可得到這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。本題的難點就是把六個數(shù)按從小到大的順序排列。為了突破難點，我們可以借助數(shù)軸。

解：在數(shù)軸上任取x1，x2，x3，x4，x5表示的點，使x1

■

觀察數(shù)軸知x1

2.用數(shù)軸求字母的取值范圍求值

問題2：若不等式組的解集不在2

■

解：由不等式組x-a>1a-x>-3

所以a+1

由圖2，可知a+3≤2或a+1≥9，即a≤-1或a≥8

3.用數(shù)軸解含有絕對值的方程

■

問題3：解方程：x+3+x-1=6

分析：由絕對值的幾何意義可知，此方程表示在數(shù)軸上求一動點x，使x到定點A（-3）的距離與到定點B（1）的距離之和等于6，如圖3。由數(shù)軸上的點的性質(zhì)可知，這樣的點x有兩個，即表示-4與2的點，所以方程的解為x=-4或x=2。

4.用數(shù)軸取零點，求最值

問題4：若m

分析：在數(shù)軸上標(biāo)出m，n，p的大致位置，如圖4，于是問題轉(zhuǎn)化為在x軸上求一點，使它到m，n，p所對應(yīng)的三點距離的和最小。易知當(dāng)x=n時，它到m，n，p所對應(yīng)的三點的距離之和最小，故當(dāng)x=n時，x-m+x-n+x-p的值最小，最小值等于p-m。

5.運用數(shù)軸變換兩圓的位置關(guān)系

如圖5，數(shù)軸反映兩圓的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，設(shè)⊙O1、⊙O2的半徑分別為R1，R2，圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系可以在數(shù)軸上表示出來，如圖5所示。

■

圖5

問題5：已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和5cm，兩圓的圓心距是6cm，則兩圓的位置關(guān)系是（ ）

A.內(nèi)含 B.外離

C.內(nèi)切 D.相交

分析：由題設(shè)，知：R1-R2=2，R1+R2=8，由圖6知R1-R2

6.借助數(shù)軸，進行代數(shù)式的化簡

■

問題6：已知有理數(shù)a、b在數(shù)軸表示的位置如圖7所示，試化簡：■-a-b

觀察數(shù)軸上字母的位置不難發(fā)現(xiàn)，a+b>0，a-b>0根據(jù)絕對值的意義，很容易去掉絕對值符號，問題迎刃而解。

7.用數(shù)軸找臨界點，求點的象限范圍

問題7：點（x，x-1）不可能在第幾象限。

■

圖8

8.無理數(shù)的理解

問題8：關(guān)于π的理解：

用直徑為1的圓，從數(shù)軸原點沿數(shù)軸滾動一周，所得到的點的位置就是π。

問題9：■的認(rèn)識：

好奇的古希臘人在數(shù)軸上以線段[0，1]為底邊作正方形，以O(shè)為圓心，過O點的對角線為半徑畫弧，交數(shù)軸正方向于D。D點表示的數(shù)是■。

以上是我在初中教學(xué)中，對數(shù)軸的一些用法，感覺數(shù)軸它雖小，但作用很大，用途很廣，借用數(shù)軸可輕松解決多方面的數(shù)學(xué)問題，是研究初中數(shù)學(xué)的有效工具之一，也是培養(yǎng)學(xué)生提高分析解題能力的好工具。

參考文獻：

劉錦海.與數(shù)軸有關(guān)的問題.中學(xué)課程輔導(dǎo)：初一版，2004（08）.

（作者單位 甘肅省酒泉市育才學(xué)校）

？誗編輯 張珍珍