一道向量高考題的探究和延伸

蔡愛欽

摘 要： 向量具有幾何和代數(shù)雙重性，與幾何和代數(shù)關(guān)系密切，它在立體幾何、三角、數(shù)列等各種知識模塊中都可能出現(xiàn)，是連接眾多知識的橋梁，利用它可以有效解決很多問題.但向量題又較靈活，學(xué)生因此在高考中失分嚴(yán)重.作者通過2013年安徽理9的探究和延伸，給出了求解向量的常用方法和技巧，揭開了向量神秘的面紗，提高學(xué)生對向量的認(rèn)知和信心.

關(guān)鍵詞： 向量 高考題 探究 延伸

隨著新課程的不斷深入和推進(jìn)，越來越多的省市加入到自主命題的行列，有關(guān)高考試題的信息越來越豐富.如何才能在有限的時間內(nèi)更有效地開展復(fù)習(xí)工作，提高復(fù)習(xí)課的教學(xué)效率，應(yīng)付更加復(fù)雜多變的命題方向？只有讓學(xué)生更扎實地掌握基本技能和基礎(chǔ)方法，提高數(shù)學(xué)思維的素養(yǎng)，才能應(yīng)對復(fù)雜多變的高考試題.從講題到探題，力圖通過課堂教學(xué)方式的改變，提高課堂教學(xué)效率，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

平面向量是數(shù)學(xué)中的重要概念和工具，利用它可以有效地解決很多問題.向量具有幾何和代數(shù)雙重性，與幾何和代數(shù)關(guān)系密切.平面向量作為數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的一個交匯點，它在立體幾何、三角、數(shù)列等各種知識模塊中都可能出現(xiàn)，是連接眾多知識的橋梁，向量的引入大大拓寬了解題的思路與方法，使它在研究其他許多問題時獲得廣泛應(yīng)用，筆者通過一道向量高考題的探究和延伸，揭示向量的內(nèi)在本質(zhì)，提高學(xué)生對向量的認(rèn)知和信心.

向量的解法從大方向講有兩種，即代數(shù)法和幾何法，因此此題可以嘗試從這兩個方向解題.

法一（代數(shù)法）：通過建立直角坐標(biāo)系可得到O，A，B點的坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)運算可求出點P的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y，聯(lián)立方程組解出λ和μ，再去絕對值得到四個二元一次不等式組，畫出平面區(qū)域可求面積.

法三（幾何法）：首先考慮λ>0，μ>0的情況.因為λ+μ≤1，結(jié)合基本定理幾何意義可知點P的軌跡是三角形AOB及其內(nèi)部，再討論其他情況，即可畫出點P的軌跡為一矩形，矩形面積就是點集所表示的區(qū)域的面積.

法四（特殊值法）：這是一道選擇題，當(dāng)一道題解不出來的時候，可以考慮利用選題題的解題技巧，即臨界值法.先考慮 |λ|+|μ|=1的情況.學(xué)生對λ+μ=1很熟悉，知道此時點P在線段AB上，再通過對稱性很容易畫出點P的邊界圖形，可以算出該區(qū)域所表示的面積.

這道向量題涉及了向量求解最常用的幾種方法，給我們解向量題提供了思路和方向.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)本身也是一個探究的過程，如果我們對條件進(jìn)行改變又能得到什么結(jié)論呢？

變式1：若把“|λ|+|μ|≤1”改為“λ+μ=1“則點P軌跡的形狀怎樣呢？

變式2：若把“|λ|+|μ|≤1”改為“0≤λ≤μ≤1”，則點P軌跡的形狀怎樣呢？

解析：此題方法也很多，不管利用代數(shù)幾何方法都可以解.

法一：最大值一般在特殊的位置取到，因此可以考慮點P在A，B，圓弧AB中點時λ+μ的值就可得到答案.

法三：把法二設(shè)點P（x，y）改為設(shè)點P（2cosθ，2sinθ），把λ+μ用θ表示，結(jié)合三角即可求出最大值.

法五：利用幾何意義，結(jié)合正弦定理也可得到λ，μ的等式關(guān)系，從而求出最大值.

平面向量已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的許多方面，向量法是一種值得學(xué)生花費時間、精力掌握的方法，學(xué)好向量知識有助于理解和掌握與之有關(guān)聯(lián)的學(xué)科.向量在高考中靈活多變，題型新穎，但我們只要在平時的學(xué)習(xí)中多探究、挖掘，掌握處理問題常用方法，抓住問題的本質(zhì)，就定能在處理向量問題時做到事半功倍.endprint

摘 要： 向量具有幾何和代數(shù)雙重性，與幾何和代數(shù)關(guān)系密切，它在立體幾何、三角、數(shù)列等各種知識模塊中都可能出現(xiàn)，是連接眾多知識的橋梁，利用它可以有效解決很多問題.但向量題又較靈活，學(xué)生因此在高考中失分嚴(yán)重.作者通過2013年安徽理9的探究和延伸，給出了求解向量的常用方法和技巧，揭開了向量神秘的面紗，提高學(xué)生對向量的認(rèn)知和信心.

關(guān)鍵詞： 向量 高考題 探究 延伸

隨著新課程的不斷深入和推進(jìn)，越來越多的省市加入到自主命題的行列，有關(guān)高考試題的信息越來越豐富.如何才能在有限的時間內(nèi)更有效地開展復(fù)習(xí)工作，提高復(fù)習(xí)課的教學(xué)效率，應(yīng)付更加復(fù)雜多變的命題方向？只有讓學(xué)生更扎實地掌握基本技能和基礎(chǔ)方法，提高數(shù)學(xué)思維的素養(yǎng)，才能應(yīng)對復(fù)雜多變的高考試題.從講題到探題，力圖通過課堂教學(xué)方式的改變，提高課堂教學(xué)效率，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

平面向量是數(shù)學(xué)中的重要概念和工具，利用它可以有效地解決很多問題.向量具有幾何和代數(shù)雙重性，與幾何和代數(shù)關(guān)系密切.平面向量作為數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的一個交匯點，它在立體幾何、三角、數(shù)列等各種知識模塊中都可能出現(xiàn)，是連接眾多知識的橋梁，向量的引入大大拓寬了解題的思路與方法，使它在研究其他許多問題時獲得廣泛應(yīng)用，筆者通過一道向量高考題的探究和延伸，揭示向量的內(nèi)在本質(zhì)，提高學(xué)生對向量的認(rèn)知和信心.

向量的解法從大方向講有兩種，即代數(shù)法和幾何法，因此此題可以嘗試從這兩個方向解題.

法一（代數(shù)法）：通過建立直角坐標(biāo)系可得到O，A，B點的坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)運算可求出點P的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y，聯(lián)立方程組解出λ和μ，再去絕對值得到四個二元一次不等式組，畫出平面區(qū)域可求面積.

法三（幾何法）：首先考慮λ>0，μ>0的情況.因為λ+μ≤1，結(jié)合基本定理幾何意義可知點P的軌跡是三角形AOB及其內(nèi)部，再討論其他情況，即可畫出點P的軌跡為一矩形，矩形面積就是點集所表示的區(qū)域的面積.

法四（特殊值法）：這是一道選擇題，當(dāng)一道題解不出來的時候，可以考慮利用選題題的解題技巧，即臨界值法.先考慮 |λ|+|μ|=1的情況.學(xué)生對λ+μ=1很熟悉，知道此時點P在線段AB上，再通過對稱性很容易畫出點P的邊界圖形，可以算出該區(qū)域所表示的面積.

這道向量題涉及了向量求解最常用的幾種方法，給我們解向量題提供了思路和方向.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)本身也是一個探究的過程，如果我們對條件進(jìn)行改變又能得到什么結(jié)論呢？

變式1：若把“|λ|+|μ|≤1”改為“λ+μ=1“則點P軌跡的形狀怎樣呢？

變式2：若把“|λ|+|μ|≤1”改為“0≤λ≤μ≤1”，則點P軌跡的形狀怎樣呢？

解析：此題方法也很多，不管利用代數(shù)幾何方法都可以解.

法一：最大值一般在特殊的位置取到，因此可以考慮點P在A，B，圓弧AB中點時λ+μ的值就可得到答案.

法三：把法二設(shè)點P（x，y）改為設(shè)點P（2cosθ，2sinθ），把λ+μ用θ表示，結(jié)合三角即可求出最大值.

法五：利用幾何意義，結(jié)合正弦定理也可得到λ，μ的等式關(guān)系，從而求出最大值.

平面向量已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的許多方面，向量法是一種值得學(xué)生花費時間、精力掌握的方法，學(xué)好向量知識有助于理解和掌握與之有關(guān)聯(lián)的學(xué)科.向量在高考中靈活多變，題型新穎，但我們只要在平時的學(xué)習(xí)中多探究、挖掘，掌握處理問題常用方法，抓住問題的本質(zhì)，就定能在處理向量問題時做到事半功倍.endprint

摘 要： 向量具有幾何和代數(shù)雙重性，與幾何和代數(shù)關(guān)系密切，它在立體幾何、三角、數(shù)列等各種知識模塊中都可能出現(xiàn)，是連接眾多知識的橋梁，利用它可以有效解決很多問題.但向量題又較靈活，學(xué)生因此在高考中失分嚴(yán)重.作者通過2013年安徽理9的探究和延伸，給出了求解向量的常用方法和技巧，揭開了向量神秘的面紗，提高學(xué)生對向量的認(rèn)知和信心.

關(guān)鍵詞： 向量 高考題 探究 延伸

隨著新課程的不斷深入和推進(jìn)，越來越多的省市加入到自主命題的行列，有關(guān)高考試題的信息越來越豐富.如何才能在有限的時間內(nèi)更有效地開展復(fù)習(xí)工作，提高復(fù)習(xí)課的教學(xué)效率，應(yīng)付更加復(fù)雜多變的命題方向？只有讓學(xué)生更扎實地掌握基本技能和基礎(chǔ)方法，提高數(shù)學(xué)思維的素養(yǎng)，才能應(yīng)對復(fù)雜多變的高考試題.從講題到探題，力圖通過課堂教學(xué)方式的改變，提高課堂教學(xué)效率，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

平面向量是數(shù)學(xué)中的重要概念和工具，利用它可以有效地解決很多問題.向量具有幾何和代數(shù)雙重性，與幾何和代數(shù)關(guān)系密切.平面向量作為數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的一個交匯點，它在立體幾何、三角、數(shù)列等各種知識模塊中都可能出現(xiàn)，是連接眾多知識的橋梁，向量的引入大大拓寬了解題的思路與方法，使它在研究其他許多問題時獲得廣泛應(yīng)用，筆者通過一道向量高考題的探究和延伸，揭示向量的內(nèi)在本質(zhì)，提高學(xué)生對向量的認(rèn)知和信心.

向量的解法從大方向講有兩種，即代數(shù)法和幾何法，因此此題可以嘗試從這兩個方向解題.

法一（代數(shù)法）：通過建立直角坐標(biāo)系可得到O，A，B點的坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)運算可求出點P的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y，聯(lián)立方程組解出λ和μ，再去絕對值得到四個二元一次不等式組，畫出平面區(qū)域可求面積.

法三（幾何法）：首先考慮λ>0，μ>0的情況.因為λ+μ≤1，結(jié)合基本定理幾何意義可知點P的軌跡是三角形AOB及其內(nèi)部，再討論其他情況，即可畫出點P的軌跡為一矩形，矩形面積就是點集所表示的區(qū)域的面積.

法四（特殊值法）：這是一道選擇題，當(dāng)一道題解不出來的時候，可以考慮利用選題題的解題技巧，即臨界值法.先考慮 |λ|+|μ|=1的情況.學(xué)生對λ+μ=1很熟悉，知道此時點P在線段AB上，再通過對稱性很容易畫出點P的邊界圖形，可以算出該區(qū)域所表示的面積.

這道向量題涉及了向量求解最常用的幾種方法，給我們解向量題提供了思路和方向.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)本身也是一個探究的過程，如果我們對條件進(jìn)行改變又能得到什么結(jié)論呢？

變式1：若把“|λ|+|μ|≤1”改為“λ+μ=1“則點P軌跡的形狀怎樣呢？

變式2：若把“|λ|+|μ|≤1”改為“0≤λ≤μ≤1”，則點P軌跡的形狀怎樣呢？

解析：此題方法也很多，不管利用代數(shù)幾何方法都可以解.

法一：最大值一般在特殊的位置取到，因此可以考慮點P在A，B，圓弧AB中點時λ+μ的值就可得到答案.

法三：把法二設(shè)點P（x，y）改為設(shè)點P（2cosθ，2sinθ），把λ+μ用θ表示，結(jié)合三角即可求出最大值.

法五：利用幾何意義，結(jié)合正弦定理也可得到λ，μ的等式關(guān)系，從而求出最大值.

平面向量已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的許多方面，向量法是一種值得學(xué)生花費時間、精力掌握的方法，學(xué)好向量知識有助于理解和掌握與之有關(guān)聯(lián)的學(xué)科.向量在高考中靈活多變，題型新穎，但我們只要在平時的學(xué)習(xí)中多探究、挖掘，掌握處理問題常用方法，抓住問題的本質(zhì)，就定能在處理向量問題時做到事半功倍.endprint