反證法在近世代數中的應用

摘 要： 反證法可用于證明近世代數中一些疑難問題.反證法在數學命題的證明中起著直接證法起不到的作用.如果能恰當使用反證法，就可以化繁為簡，化難為易，化不可能為可能.

關鍵詞： 反證法 近世代數 群 環

近世代數是一門較抽象的課程.它的主要研究對象是代數系統，即帶有運算的集合.由于內容抽象，初學者往往會感到困難重重，尤其對于證明，不知如何從哪方面下手.其實，在掌握好它的基本概念、性質和定理的前提下，它所用的思考方式和手段，很多都是數學證明里常用的，如，類比、歸化、轉化、反證等.反證法在近世代數的證明中用途極其廣泛.它在數學命題的證明中有直接證法所起不到的作用，如果能恰當地使用反證法，就可以化繁為簡、化難為易、化不可能為可能.

反證法是分析問題和解決問題的一種科學方法.反證法又叫歸謬法、背理法，是數學中常用的一種命題證明方法.反證法是對數學命題的一種間接證法，其理論依據是形式邏輯中的“排中律”和“矛盾律”.這種方法是從反面進行證明，即肯定題設而否定結論，從而得出矛盾，使命題獲得證明.有關“存在性”、“否定性”、“無限性”的命題，應用反證法的情況較多.在近世代數中，有些問題直接利用定理結論證明或用定義直接驗證較困難時，可考慮使用反證法.本文就子群的階、同構、主理想、素理想四個近世代數中幾個重點難點內容展開討論，希望學生在學習過程中由此能得到點滴啟發.

反證法證題的步驟是：1.反設：反設是應用反證法證題的第一步，也是關鍵一步，反設的結論作為下一步“歸謬”的一個已知條件.反設的意義在于假設所有證明的命題的結論不成立，而結論的反面成立；2.歸謬：“歸謬”是一個用反證法證題的核心，其含義是從命題結論的“反設”及原命題的已知條件出發，進行正確嚴密的推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾或自相矛盾的結果；3.結論：指出“反設”是錯誤的，原命題結論必正確.

1.反證法在子群階中的應用

例1.設p，q是兩個素數，且p

分析：這個結論易通過Sylow定理得到，但[1]中沒有涉及Sylow定理，通過反證法可輕松證得.題目要證明至多存在一個子群，我們可以假設存在兩個不同的子群.

證明：設H，K是群G的兩個不同的q階子群，但由于|H∩K|| |H|=q，且q是素數，故|H∩K|=q或1.

若|H∩K|=q，則由H∩K≤H且H∩K≤K知H∩K≤=H=K，與H≠K矛盾.

注：從這一例題中可以看到，直接說明pq階群G最多有一個q階群難度相當大，但如果假設有兩個不同q階子群，通過推理出現矛盾，則說明最多有一個q階子群.

2.反證法在同構中的應用

同構在近世代數中是一個非常重要的基本概念.如果忽略掉同構的對象的屬性或操作的具體定義，單從結構上講，同構的對象是完全等價的.簡單來說，同構是一個保持結構的雙射.在更一般的范疇論語言中，同構指的是一個態射，且存在另一個態射，使得兩者的復合是一個恒等態射.

換言之，G的乘法表是唯一確定的.因此階為6的非交換群存在且互相同構.

注：這一證明題不是一開始就給予結論否定，而是在證明中部分地方利用了反證法.如|b|≠3.若|b|=3，則在后面的推論中出現矛盾.

3.反證法在環中的應用

例3.證明卡普蘭斯基（Kaplansky）定理：設R是一個有單位元用1表示的環，如果R的元素a有一個以上的右逆元，則a就有無限多個右逆元.

4.反證法在理想中的應用

注：說明極大理想都是素理想，可以假設有一個極大理想不是素理想，根據這一假設推出矛盾.

數學思維方法的訓練是實現“授之以漁”教學舉措的有效手段，我們應該在教學中有意識、有計劃、有目的地利用不同類型的問題，從不同視角、不同途徑分析、思考和探索，幫助學生拓展證題思路，形成良好的數學思維品質.善于反思，巧妙利用反證是解決數學問題的重要方法和策略，不僅能揭示數學知識的內在聯系、規律和相互關系，更能從復雜問題中找到突破口，從而避免繁瑣的證題過程，有效提高學生分析問題和解決問題的能力，培養學生的探索和創新精神.

參考文獻：

[1]張禾瑞.近世代數基礎[M].北京：高等教育出版社，1998.

[2]汪秀羌.反證法的應用[J].工科數學，1997，2：163-166.

[3]唐娜.淺談如何加強大學素質教育[J].學園，2010，12：25-26.

[4]赫爾（M.Hall）.群論[M].科學出版社，1981：56-124.

[5]韋建輝.例談反證法的應用[J].南寧師范高等專科學校學報，2000，2：70-71.