三次函數(shù)的系數(shù)與函數(shù)性質(zhì)研究

朱九云

【摘要】初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)二次函數(shù)，在高中階段又系統(tǒng)地學(xué)習(xí)并深化了二次函數(shù)，而三次函數(shù)是一種新接觸的多項(xiàng)式函數(shù)，它與二次函數(shù)不同，卻又是沿同一條主線(xiàn)發(fā)展而來(lái)的，因此，它與二次函數(shù)也存在一些相似的地方，比如說(shuō)一些相同的研究方向.三次函數(shù)在高考中依然是一個(gè)熱點(diǎn).本文主要就是來(lái)探究和總結(jié)三次函數(shù)的系數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；三次函數(shù)；知識(shí)探究；知識(shí)總結(jié)

從這幾年的江蘇高考來(lái)看，都有涉及三次函數(shù)的考查，考過(guò)基礎(chǔ)題，也有難題和壓軸題，特別是對(duì)于三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)的類(lèi)型比較常見(jiàn)，那么我們?cè)诮虒W(xué)中對(duì)三次函數(shù)問(wèn)題的研究也應(yīng)該加強(qiáng).在函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題中，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用對(duì)于研究函數(shù)的性質(zhì)可以說(shuō)是開(kāi)辟了一條非常有效快捷的道路，與傳統(tǒng)的研究函數(shù)的方法相比，導(dǎo)數(shù)的方法更是一種全新的視角和全新的思維.在目前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一個(gè)就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，也就是和切線(xiàn)有關(guān)的問(wèn)題；而另一方面就是用導(dǎo)數(shù)的方法來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性.下面我們將從導(dǎo)數(shù)與三次函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系入手來(lái)研究三次函數(shù)的系數(shù)和性質(zhì).

一、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性

導(dǎo)數(shù)是高中階段所學(xué)習(xí)的概念，主要是用于探究函數(shù)的單調(diào)性.我們知道，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)有著直接的聯(lián)系，當(dāng)f′（x）>0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，相反，當(dāng)f′（x）<0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.雖然二次函數(shù)也有單調(diào)性，但是三次函數(shù)比起二次函數(shù)，單調(diào)性的變化更加豐富，考查也可以更加靈活，因此，在考試中，關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性的理解，往往都是以考查三次函數(shù)為主.我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次函數(shù)的時(shí)候就知道，函數(shù)圖像和相關(guān)性質(zhì)與函數(shù)的系數(shù)是相聯(lián)系的，比如說(shuō)函數(shù)圖像的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)、最大值和最小值、對(duì)稱(chēng)軸、與x軸的交點(diǎn)等等.在三次函數(shù)中也是一樣的，三次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)與系數(shù)也是有直接的關(guān)聯(lián)，比如說(shuō)函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)和最值.在教學(xué)中，教師要注重啟發(fā)學(xué)生們理解和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系，讓學(xué)生們更進(jìn)一步地理解導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)在函數(shù)圖像中所體現(xiàn)的意義.

二、三次函數(shù)系數(shù)與圖像的關(guān)系

在我們學(xué)習(xí)和研究三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+da≠0中，以系數(shù)a來(lái)說(shuō)，它與函數(shù)的圖像會(huì)有什么關(guān)系呢？也就是說(shuō)，在函數(shù)圖像的整體趨勢(shì)上會(huì)有什么樣的影響呢？它將如何來(lái)決定函數(shù)的圖像？那么，我們可以通過(guò)分a>0和a<0這兩種情況來(lái)討論.經(jīng)過(guò)學(xué)生們的探究和討論后，教師可以適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行點(diǎn)撥，并針對(duì)學(xué)生們的討論結(jié)果進(jìn)行總結(jié)，可以得出：對(duì)于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），其中的三次項(xiàng)系數(shù)a控制著函數(shù)的總體趨勢(shì).當(dāng)a>0時(shí)，x從負(fù)無(wú)窮大到正無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)f（x）的整體變化趨勢(shì)也是從負(fù)無(wú)窮大到正無(wú)窮大，從圖像上來(lái)看，就是圖像從第三象限向第一象限延伸.相反的，當(dāng)a<0時(shí)，x的取值從負(fù)無(wú)窮大到正無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)值卻是從正無(wú)窮大到負(fù)無(wú)窮大，圖像則是從第二象限過(guò)渡到第四象限.對(duì)于這兩種情況，我們可以作進(jìn)一步的研究，探討函數(shù)系數(shù)與函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系.比如我們以a>0這種情況為例，當(dāng)然也可以選擇a<0，探討的方法是一樣的.

三、三次函數(shù)系數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系

在高中階段，我們?cè)谘芯亢瘮?shù)的性質(zhì)時(shí)，常常會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來(lái)輔助研究.那么，在三次函數(shù)的性質(zhì)的探討過(guò)程中，我們又如何利用導(dǎo)數(shù)來(lái)進(jìn)行研究呢？函數(shù)又會(huì)有怎樣的一些性質(zhì)和特征呢？

在我們研究三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a>0）時(shí)，可以先求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f′（x）=3ax2+2bx+c，這個(gè)導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)，在初中階段就已經(jīng)接觸過(guò)，高中階段也進(jìn)一步探究和學(xué)習(xí)過(guò)，因此，二次函數(shù)的性質(zhì)我們是比較熟悉的.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，我們可以知道，二次函數(shù)中二次項(xiàng)系數(shù)a控制的是函數(shù)圖像的開(kāi)口方向，當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向上，同時(shí)有最小值.相反，當(dāng)a<0時(shí)，開(kāi)口向下，有最大值.在這里，f′（x）顯然是一個(gè)開(kāi)口向上的二次函數(shù)，那么f′（x）的值會(huì)是怎么樣的呢？f′（x）的值是正還是負(fù)，又需要我們進(jìn)一步分類(lèi)討論，在二次函數(shù)中，這是一個(gè)函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，可以分為有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)或沒(méi)有交點(diǎn)，而有交點(diǎn)情況又是以Δ為判斷依據(jù).那么，結(jié)合3a>0這個(gè)條件，當(dāng)二次函數(shù)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，Δ=（2b）2-4×（3a）×c<0，化簡(jiǎn)得出b2-3ac<0，此時(shí)函數(shù)圖像在x軸的上方，f′（x）的值為正.也就是對(duì)于任意的x∈R，f′（x）>0恒成立，再依據(jù)三次函數(shù)與倒數(shù)的關(guān)系，可以得出，原三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a>0）在實(shí)數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)二次函數(shù)f′（x）與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)的時(shí)候，那么Δ=（2b）2-4×（3a）×c=0，也就是b2-3ac=0，此時(shí)f′（x）的頂點(diǎn)剛好在x軸上，也就是x=x0時(shí)，f′（x）=0，在其他范圍內(nèi)，f′（x）>0恒成立.因此，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)可知，此時(shí)原三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a>0）在實(shí)數(shù)區(qū)間內(nèi)同樣是單調(diào)遞增.而另外一種情況卻是變化最豐富的，也就是當(dāng)f′（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)的時(shí)候，此時(shí)函數(shù)所需要滿(mǎn)足的系數(shù)條件是Δ=（2b）2-4×（3a）×c>0，即b2×3ac>0，此時(shí)函數(shù)f′（x）的值可以是正的也可以是負(fù)的，根據(jù)此時(shí)f′（x）的正負(fù)情況，可以得到，當(dāng)xx2時(shí)，f′（x）>0，原三次函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)遞增的.當(dāng)x1

從上面整個(gè)探究過(guò)程來(lái)看，知識(shí)之間的聯(lián)系是非常密切的，通過(guò)引入導(dǎo)數(shù)，把三次函數(shù)和二次函數(shù)聯(lián)系起來(lái)了，而且運(yùn)用了二次函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)來(lái)探究三次函數(shù)的性質(zhì).很多學(xué)生覺(jué)得三次函數(shù)很復(fù)雜，導(dǎo)數(shù)也不好理解，其實(shí)只要掌握了正確的探究方式，充分運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析和整理，那么探究的思路也會(huì)越來(lái)越清晰，當(dāng)學(xué)生能夠理解整個(gè)探究過(guò)程的時(shí)候，那么學(xué)三次函數(shù)就會(huì)覺(jué)得非常簡(jiǎn)單了.因此，在教學(xué)中，教師一定要注重探究過(guò)程的研究和展示，而不是讓學(xué)生們記住結(jié)論，這樣才是有效的教學(xué).