中小學生對比例推理的過度使用

李曉東，江榮煥，錢玉娟

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中小學生對比例推理的過度使用

李曉東，江榮煥，錢玉娟

（深圳大學 師范學院，廣東 深圳 518060）

以370名5~8年級的中小學生為研究對象，考察學生在以缺值形式呈現的比例問題和加法問題上的表現．結果表明，年級與問題類型存在顯著的交互作用，除5年級外，其它年級的學生在比例問題上的成績均優于加法問題．學生在加法問題上存在過度使用比例推理的現象，并且在小學6年級時達到高峰．數字比與小學生過度使用比例推理有關，當同類量比與不同類量比均為整數時，學生更容易在加法問題上犯比例錯誤．

比例推理；缺值問題；數字比

1 問題提出

比例推理是關于數量關系的思考，要求同時對幾個數量或值做出比較．關于比例推理，人們很容易聯想到比與比例問題，實際上比例推理的應用非常廣泛，不僅是數學領域，其它學科如科學與藝術也需要運用比例推理的知識．日常生活更是離不開比例推理，如選擇哪一款電器性價比更高或是選擇哪種電信套餐更劃算，等等．比例推理雖然重要，但是國外有研究表明中小學生存在過度使用比例推理的現象．例如，Verschaffel等人發現，對于“Ellen和Kim在同一個跑道上跑步，他們跑步的速度相同，但是Ellen比Kim后起跑，當Ellen跑了5圈時，Kim跑了15圈．當Ellen跑到30圈的時候，Kim跑了多少圈？”這種本應使用加法解決的問題，大多數6年級學生錯誤地給出比例答案“30×3=90”，而不是加法答案30+10=40[1]．對于“Jim的100米短跑的最好成績是17秒，問Jim跑1000米需要多長時間？”這種根本沒有確切答案的問題，超過90%的10~12歲學生會回答170秒[1]．

為什么學生在本該使用加法思維的問題上使用了乘法思維（比例推理）？一種看法是教科書上的比例問題常以缺值形式呈現，即在問題中，依次給出、、三個數，要求求出第四個數，使得/=/，或/=/．在缺值形式的問題中，與、與之間或與、與之間有相同的線性關系，它們之間的比相等．例如，在“2件襯衣賣30元，4件相同的襯衣賣多少錢？”這個問題中，2/4與30/？具有相同的比，而2/30與4/？也具有相同的比，因此利用已知比就可以求出未知數．學生在長期的練習中，錯誤地將問題的表面結構當成問題解決的線索，而沒有對數量之間的真正關系建立表征．

還有研究表明，題目中數字之間的整數比會誘導個體在測試中使用比例方法[2]，例如在上面Ellen和Kim跑步這個題目中，由于15/5=3，因此個體更容易以30×3=90來計算Kim跑的圈數．Karplus等人的研究表明，對于“一種檸檬水由杯檸檬汁兌杯水混合而成，現在有杯檸檬汁，若要調出味道相同的檸檬水需要多少杯水？”這樣的題目，如果/或者/為整數的話，被試更容易運用比例策略解決問題從而獲得正確答案，而當這些比不為整數時，被試更容易運用加法策略來解決問題，如采用等式=c+(-)解題，從而導致錯誤的答案．可見，題目中的數字比與被試使用的問題解決策略有關系[3]．Linchevski等人的研究則發現當(5)已知時，學生會傾向于認為(20)=4×(5)，他們指出“也許我們對數字的選擇誘發了被試對比例的錯誤應用……如果不使用20，而是使用17、27或83等數字，學生們就不會錯誤地使用比例方法了”[4]．Van Dooren等人在2009年的研究進一步證實，題目中的數字比會影響學生對比例推理的誤用，他們發現，如果題目中的數字比為整數，那么學生運用比例策略解題的傾向會增加，從而導致其在非比例題上的成績更差，而當題目中的數字比為非整數時，學生較少運用比例策略解題，從而減少了比例推理的誤用[5]．

國內關于比例推理的研究較少，苗丹民于1991年以中國4~14歲兒童為研究對象，率先探討了兒童比例推理能力的發展，研究表明兒童比例推理能力的發展隨著年齡的增長呈現出階段性，兒童比例推理能力在4~6歲時處于加法推理階段，僅能認識到多與少的關系，之后逐漸過渡到乘法推理，開始理解整數倍數的概念，最后約在12歲時達到函數關系的推理水平，能夠對非整數倍函數關系進行操作和整合[6]．近幾年的研究則更多探討了兒童比例推理策略的發展及其影響因素，陳英和等人的研究表明，隨著年級增長，兒童的比例推理策略從加法策略向倍數乘法策略轉化，在6年級時出現比例公式策略，其中題目中的整數和分數會影響學生比例策略的使用，當整數出現時，兒童更容易采用比例策略，并且在加入解釋題目的圖例之后，兒童能夠更好地運用正確的策略進行解題，更少出現邏輯錯誤[7]．可見，兒童比例推理的正確使用不僅受題目中數字的影響，還有賴于他們對題目的正確理解．

有關中國兒童與國外兒童的跨文化研究表明中西方學生的數學能力具有明顯的差異．苗丹民的研究對比了中加兒童的比例推理能力，發現11~14歲的中國兒童比例推理能力的發展比同齡加拿大兒童要快．也有研究表明，中國兒童在數學運算領域的能力比國外的兒童要強，在幾何空間推理能力方面國內外兒童則沒有明顯的差異[8]．綦春霞等人采用PISA（國際學生評估項目）對中英學生的數學推理能力進行比較，發現對于兩國的8年級學生，英國學生在代數推理和概率推理方面得分更高，而中國學生則在幾何推理方面得分更高[9]．夏小剛等人對中美學生數學思維的差異進行比較，發現在問題解決過程中，中國學生偏向于使用抽象的策略和符號表征，而美國學生往往更偏向使用視覺策略和具體表征[10]．

從目前公開發表的文章來看，尚未看到中國學生是否存在過度使用比例推理現象的研究．那么，國外學生普遍存在的過度使用比例推理的現象在中國中小學生中是否也存在呢？數字比的形式即兩個數量的比是否為整數是否與過度使用比例推理有關呢？這里擬參考Van Dooren等人的研究架構對上述問題進行探討．

2 研究方法

2.1 被 試

被試為南方某普通小學和某普通中學的學生，共370人（男193人，女177人）．其中5年級學生72人（男28人，女44人），平均年齡為10.30歲；6年級學生76人（男40人，女36人），平均年齡為11.26歲；7年級學生110人（男62人，女48人），平均年齡為12.24歲；8年級學生112人（男63人，女49人），平均年齡為13.49歲．所有被試智力正常，以前未參加過類似實驗．

公安院校思想政治理論課的建設是一項意義深遠又極富挑戰的工程，思政課教師既擁有廣闊發展空間，也承載著偉大時代使命。要始終銘記：不忘初心，牢記使命，用好課堂教學的主渠道，切實將思政課打造成學生一見鐘情、念念不忘、真心喜愛、終身受益的課程。

2.2 實驗材料

研究中的問題有兩種，一是比例問題，一是加法問題，均以缺值形式呈現．數量之間的比稱為數字比，分為同類量比和不同類量比．如在“2件襯衣賣30元，4件相同的襯衣賣多少錢？”這個問題中，2代表衣服的數量，30代表衣服的價格，它們之間的比就是不同類量比；而2與4都表示衣服的數量，它們之間的比稱為同類量比．

數字比有4種組合類型：（1）同類量比和不同類量比均為整數；（2）同類量比為整數，不同類量比為非整數；（3）同類量比為非整數，不同類量比為整數；（4）同類量比和不同類量比都為非整數．

比例問題與加法問題各8道，每種數字比類型的題目各2道．數字比最小為2，最大為4．所有題目的最終正確答案均為整數．各種類型試題樣例見表1．

表1 4種數字比類型的題目樣例

注：A代表同類量比與不同類量比均為整數；B代表同類量比為整數，不同類量比為非整數；C代表同類量比為非整數，不同類量比為整數；D代表同類量比與非同類量比均為非整數．

2.3 實驗程序

由受過培訓的心理學專業研究生擔任主試，在教室里進行團體施測．

為控制順序誤差，采用系統ABBA法進行平衡，A為比例問題，B為加法問題，而對每一種問題類型下具有不同數字比的題目進行拉丁方平衡．最終得到兩種順序，實驗中同桌被試接受不同的測驗順序．在實驗開始前，為了避免學生產生緊張情緒，告知被試主試是研究生正在做畢業論文，需要做一個關于學生學習情況的一個小調查，不是考試不計成績，請不用緊張．實驗過程中，要求被試獨立完成，只需列算式和寫答案，不需要寫下演算步驟，從開始到結束，實驗持續時間為25分鐘左右．所有數據均采用SPSS16.0統計軟件包進行處理與分析．

3 結果與分析

做對1題得1分，比例問題與加法問題的分值范圍皆為0~8分．若只列算式，沒有寫答案，只要列式正確，則認為是正確的；如果只寫答案，但未列算式，只要答案是最終的正確答案，也算正確．

3.1 中小學生在比例問題與加法問題上的成績

5~8年級學生解決比例問題及加法問題成績的平均數和標準差見表2．

表2 5~8年級學生解決比例問題及加法問題成績的平均數和標準差

以年級、性別、問題類型作為自變量，各類題目上的成績為因變量，進行4(年級)×2(性別)×2(問題類型)的重復測量的方差分析．結果表明，問題類型的主效應顯著，(1, 362)=98.165，<0.001；年級主效應顯著，(1, 362)=17.283，<0.001；性別主效應不顯著，(1, 362)=0.074，=0.786；問題類型與年級的交互作用顯著（見圖1），(3, 362)=11.44，<0.001；問題類型與性別的交互作用不顯著，(1, 362)=1.024，=0.312；年級與性別的交互作用不顯著，(3, 362)=0.989，=0.398；3者之間也不存在交互作用，(3, 362)=0.234，=0.873．

由于問題類型與年級的交互作用顯著，因此作簡單主效應分析．首先檢驗年級一定時，問題類型的簡單主效應．配對樣本檢驗的結果表明，除5年級外，其它3個年級在比例問題和加法問題上的成績差異均顯著，被試在比例問題上的成績均優于加法問題（5年級：(71)=1.767，=0.081；6年級：(75)=8.588，<0.001；7年級：(109)=5.318，<0.001；8年級：(111)=4.053，<0.001）．

其次，考查問題類型一定時，年級的主效應．結果表明,在比例問題上，存在顯著的年級差異，(3, 366)=2.798，<0.05．事后比較發現，7年級在比例問題上的成績顯著好于5、6、8年級（7-5=0.431，<0.05；7-6=0.553，<0.05；7-8=0.402，<0.05），而5、6、8年級在比例問題上的成績無顯著差異；在加法問題上，存在顯著的年級差異，(3, 366)=17.888，p <0.001．事后比較發現，6年級成績顯著低于5、7、8年級（5-6=2.796，<0.001；7-6=2.149，<0.001；8-6=2.122，<0.001），而5、7、8年級在加法問題上的成績無顯著差異．此外，研究中發現性別對成績的影響既無主效應又與其它變量無交互作用，因此在后面的分析中均不考慮性別因素的影響．

3.2 中小學生在比例問題與加法問題上的錯誤類型

從中小學生在比例問題與加法問題的成績看，學生在比例問題的成績是顯著好于加法問題的．按學生掌握數學知識的順序來講，學生是先獲得加法思維，然后才學習乘法思維的，其在加法問題上的成績應該好于比例問題．學生在缺值形式的加法問題上成績較差是否是因為比例推理的過度使用呢？即在加法問題上使用了比例方法？學生的錯誤與數字比是否有關系？

圖1 年級與問題類型的交互作用

經過分析，發現學生在比例問題的錯誤可分為兩種，一是加法錯誤，本該用比例方法解決的卻運用了加法；另一類是沒有規律的錯誤，干脆不會未給出答案的也歸為此類，稱為其它錯誤．學生在比例題上所犯錯誤的類型及其占答案總數的百分比見表3．

以年級為層變量，采用2(錯誤類別)×4(數字比)的卡方檢驗對各年級學生在比例題上所犯的錯誤進行分析，結果表明各年級的學生所犯錯誤的類型與數字比均無關（5年級：2(3)=0.555，=0.908；6年級：2(3)=2.056，=0.561；7年級：2(3)=3.560，=0.313；8年級：2(3)=1.323，=0.724），說明各年級學生在比例題上的錯誤不受數字比的類型的影響．各年級在比例題上的錯誤占答案總數的百分比均較低，除了6年級之外，其他年級犯兩類錯誤占答案總數的百分比均少于10%．

表3 各年級學生在比例問題上所犯的錯誤個數（%）

注：A代表同類量比與不同類量比均為整數；B代表同類量比為整數，不同類量比為非整數；C代表同類量比為非整數，不同類量比為整數；D代表同類量比與非同類量比均為非整數．

學生在加法問題上的錯誤也可分為兩種，一是比例錯誤，即應該用加法卻錯誤地運用了比例方法，屬于比例推理的過度使用；另一類是沒有規律的錯誤及未給出答案，稱為其他錯誤．學生在加法問題上所犯錯誤的類型及其占答案總數的百分比見表4．

表4 各年級學生在加法問題上所犯的錯誤個數（%）

注：A代表同類量比與不同類量比均為整數；B代表同類量比為整數，不同類量比為非整數；C代表同類量比為非整數，不同類量比為整數；D代表同類量比與非同類量比均為非整數．

以年級為層變量，采用2(錯誤類別)×4(數字比)的卡方檢驗對學生在加法問題上所犯錯誤進行分析，結果表明5年級的錯誤類別與數字比有關，2(3)=12.763，＜0.01，學生在加法問題上出現的比例錯誤（68個，占全部錯誤的68%）明顯多于其他錯誤，其比例錯誤按照A，D，C，B依次遞減，當數字比類型為A即數字比均為整數時，出現的比例錯誤最多（31個）；6年級的錯誤類別與數字比有關，2(3)=10.476，＜0.01，學生在加法問題上出現的比例錯誤（261個，占全部錯誤的82.59%）明顯多于其他錯誤，而其比例錯誤按A，C，B，D的順序依次遞減，當數字比類型為A時，錯誤個數最多（84個）；7年級的錯誤類別與數字比無關，2(3)=6.408，=0.09，但學生在加法問題上出現的比例錯誤（187個，占全部錯誤的84.62%）明顯多于其他錯誤；8年級的錯誤類別與數字比無關，2(3)=4.633，=2.01，但學生在非比例問題上出現的比例錯誤（185個，占全部錯誤的81.14%）明顯多于其它錯誤．

綜上，各個年級均表現出在加法問題上犯比例錯誤的傾向，且5年級和6年級的學生過度使用比例推理的傾向受數字比的影響，當數字比為整數時過度使用比例推理的現象更為明顯．

4 討 論

比較了中小學生在以缺形式呈現的比例問題和加法問題上的表現，結果發現5~8年級的學生在比例問題上成績較好，在滿分為8分的題目中，各年級平均得分均達到7分以上，說明中小學生很好地掌握了比例問題的解決方法，具備了利用乘法思維解決問題的能力．但是，在本來應更為簡單的加法問題上，中小學生的表現卻不盡人意，成績均低于比例問題．為什么會出現這種成績逆轉的情況呢？可能是由問題的呈現形式造成的．數學是一種基于相似性的探索活動[12]．學生在學習解決比例問題時，問題往往以缺值形式呈現，已知3個數量，求第四個量，數量之間存在比例關系．學生在學習這類問題時，將問題的呈現形式作為一種提示題型的線索儲存在大腦中，遇到同類問題時就會激活比例問題的解決策略，因而會促進比例問題的解決．但是，但學生遇到表面相似而實則不同的加法問題時，激活的比例問題策略反而會導致錯誤的解答．

從學生在加法問題上所犯的錯誤來看，支持上述分析．各年級學生所犯的比例錯誤顯著多于其它錯誤，尤其是6年級的錯誤最多．如何解釋這種年級差異呢？可能與學生所受的數學教育有關．在我國，比與比例的知識要到6年級才學習，也就是說6年級的學生正式接受用比例推理解決問題的數學訓練．用比例方法解決問題對6年級學生來說是一種新知識，他們對其掌握得還不夠深入與扎實，對比例推理的適用范圍與邊界缺少清晰的認識，易受題型的誤導．而7、8年級的中學生在認知和元認知能力上都優于小學生，他們已具備較高水平的比例推理能力以及對不同問題進行分析和診斷的能力，因而成績較為理想．5年級學生在比例問題的成績上反而好于6年級學生，可能是由于我國學生在學習乘除法時，老師會強調運用單位量的方法解決問題，因此，他們雖然沒學習比與比例的問題，但他們利用單位量的方法同樣可以正確解決比例問題；而在加法問題上，因為沒有比與比例問題的經驗干擾，反而可以用以往的加法思維正確解決問題．

研究發現數字比對學生過度使用比例推理的影響僅限于5、6年級，當同類量比與非同類量比均為整數時，小學生更傾向于在加法問題上使用比例方法，這個結果與Van Dooren等人的結果一致[5]，他們發現，對于小學4、5、6年級的學生來說，非整數比會降低學生在加法問題上使用比例方法的錯誤．研究發現雖然整數比增加了比例方法的應用，但非整數比卻沒有增加加法方法的應用，在比例問題上，各年級所犯的錯誤與數字比無關，這一點與國外的研究不一致[11]，這可能與兩個研究使用的題目不一樣有關，也可能是由于不同國家學生數學能力或教學差異造成的，未來還需要進一步探討．

5 結 論

中國中小學生在解決比例問題時有較好的表現，但在解決以缺值形式呈現的加法問題存在過度使用比例推理的現象，6年級學生最為明顯．對于5、6年級的小學生來說，整數比會增加學生在加法問題上的比例錯誤．

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5~8 Graders’ Overuse of Proportionality on Missing-Value Problems

LI Xiao-dong, JIANG Rong-huan, QIAN Yu-juan

(Normal College, Shenzhen University, Guangdong Shenzhen 518060, China)

This study examined the performance of 5~8 graders on proportional and additive missing-value problems. Results showed that there was a significant interaction between grade and problem type. Students performed better on proportional problems than additive problem except 5 graders. Students especially 6 graders turned to overuse of proportionality on additive problems. Primary school students’ overuse of proportionality was related to ratios between numbers in the problems. When both the external ratio and the internal ratio are integer, they used more proportional methods on additive problems.

proportional reasoning; miss-value word problem; ratios between numbers

2014–08–06

深圳市教育規劃“十二五”重點課題——學習質量的評估與促進

李曉東（1965—），女，遼寧沈陽人，教授，博士生導師，主要從事學習與認知、數學問題解決等研究．

G420

A

1004–9894（2014）06–0073–05

[責任編校：周學智]