高水平數學教學到底該教什么

李 祎

?

高水平數學教學到底該教什么

李 祎

（福建師范大學 數學與計算機科學學院，福建 福州 350108）

數學教師的教學水平的高低，首當其沖地體現在對教學內容的把握上．高水平的教師，在教教材中顯性知識的同時，能挖掘出其后的隱性知識，教到一些別人教不出來的內容．這些不易教到的隱性知識，就是數學的本質、過程、思想和結構．通過深度挖掘教材中各種數學概念、結論等背后的隱性知識，達到與隱性知識的深度對話，有助于提高數學課堂實效和學生的綜合能力．

數學本質；數學過程；數學思想；數學結構

教學研究的基本問題是“教什么”和“怎么教”，前者關乎教學內容問題，后者關乎教學形式問題．教學內容決定教學形式，教學形式服務于教學內容．“教什么”永遠比“怎么教”更重要．先進理念首先關乎教學內容，首先要關注“教什么”．

從“教什么”的視角來看，數學教師的教學水平的高低，首當其沖地體現在對教學內容的把握上．低水平的教書匠，只會照本宣科，看到什么就教給學生什么，只是知識的搬運工；高水平的教師，能透過現象看到本質，在教教材中顯性知識的同時，能挖掘出其后的隱性知識，教到一些別人教不出來的內容．

這些不易教到的隱性知識是什么呢？概括而言，研究者認為是數學的本質、過程、思想和結構等4個方面．認識到數學教材中蘊含的這些隱性知識，通過深度挖掘和解讀教材隱性知識，達到與隱性知識的深度對話，有助于提高數學課堂實效和學生的綜合能力．

1 教“本質”

1.1 教數學概念的本質

數學概念是反映數學對象的本質屬性的思維產物，所謂本質屬性就是該類事物共有和特有的穩定屬性，也可以說，本質屬性就是事物變化當中保持不變的屬性．掌握數學概念的本質，既需要靜態的分析其定義形式，更需要在比較、變化等聯系性活動中揭示其內涵．

比如，對于復數的本質的把握，必須認識到復數是一種二元數，而實數則是一元數．與把一元的實數看作“單純的數”相比，二元的復數不僅有數量意義，而且還有方向意義，它是一種“有方向的數”，“數量加方向”是復數的本質屬性，這一本質屬性可以通過復數的代數表示、三角表示和幾何表示來進行揭示．

有一些數學概念的本質，相對比較隱晦，更需要教師努力揭示．比如，在小學和初中階段，分別學過不同的“距離”：“兩點之間的距離”，“直線外一點到已知直線的距離”，“兩平行線之間的距離”．那么，距離的本質是什么呢？其實，更一般來看，距離的本質就是“最小值”：圖形內的任一點與圖形內的任一點間的距離中的最小值，叫做圖形與圖形的距離．把握住這一本質，高中階段學習“點到平面的距離”，“直線到與它平行的平面的距離”，“兩個平行平面的距離”，“異面直線的距離”的概念時，學生也能做到不教自明．

需要說明的是，掌握數學概念的本質，并不意味著背誦概念的定義．比如對于方程的定義“含有未知數的等式叫方程”，并沒有反映方程的本原思想．教師在方程定義的黑體字上大做文章，反復舉例，咬文嚼字地學習，朗朗上口地背誦，沒有實質性的意義．絕對沒有學生因為背不出這句話而學不會“方程”的．方程的實質是“為了尋求未知數，在已知數和未知數之間建立起來的一種等式關系”．在數學學習中，學生能否記住方程的定義并不重要，關鍵在于領會其基本思想，并能夠進行靈活地應用[1]．

此外，對于數學概念定義的呈現，并非越嚴密、越精確，就越有助于掌握其本質，還必須考慮到學生的可接受性．特別是對于抽象程度較高的數學概念，學生接受起來比較困難，這時為了更好地幫助學生掌握概念的本質，需要適度淡化概念的形式定義，以使學生更好地理解概念的內涵．比如在高中數學教材中，對于導數和定積分概念的呈現，便采用了這樣的處理方式．

1.2 教數學結論的本質

數學中的結論很多，但大凡列入教材中的重要數學結論，如各種數學公理、定理、公式、法則等，主要在于其經常用到、推證不易、形式簡單．把握數學結論的本質，并不在于記誦結論本身，而在于理解其內涵，明確其意義，掌握其功能，認識其成立的理由．

比如在三角形的學習中有許多結論，對每一結論都應盡可能把握其本質：三角形的三內角和定理反映了任意三角形的三內角和所保持的不變性，其正確性在小學可以通過剪拼、折疊或拉伸的方法來進行驗證，在初中可以通過平行線的性質定理來進行嚴格證明；三角形的面積公式本質上是刻畫了三角形底邊與對應高的乘積的不變性，這一不變量可以度量三角形這一封閉圖形的大小，其正確性在小學可以通過剪拼或折疊的方法來進行驗證，在初中可以通過三角形的相似來進行證明；三角形全等的判定定理本質上是揭示了唯一確定三角形的大小和形狀所需要滿足的最簡條件；等等．

1.3 教數學方法的本質

數學中除了一些結論性知識，還有大量的方法性知識，比如運算的方法、度量的方法、變換的方法、論證的方法等．掌握數學方法的本質，不僅要掌握“怎么做”，即方法運用的程序與步驟，還要掌握“為什么可以這樣做”，即數學方法的內涵是什么，不同數學方法使用的條件是什么，適用的范圍是什么，數學方法與問題特質具有怎樣的關聯性．

比如對于數的加、減運算的方法，必需抓住計數單位這一本質．因為自然數以“1”為標準，“1”是自然數的單位，所以任何兩個自然數都可以直接相加減．同分母分數，因為它們的分數單位相同，所以能直接相加減；異分母分數，因為它們的分數單位不同，所以就要把它們化成相同的單位，這樣才可以相加減．小數的加減運算中，小數點對齊才能相加減，其本質也是相同計數單位要相同．因為只要小數點對齊，相同數位就對齊了，相同計數單位也就同樣能相加減了，而不必考慮小數的末位是不是一定對齊．

2 教“過程”

數學有3種形態：原始形態、學術形態和教育形態[2]．原始形態是指數學家在探索發現數學真理時所進行的曲折、復雜的數學思考；學術形態是指數學家對探索、發現的數學真理進行歸納、整理形成文本材料后的一種形態，它呈現出的是“簡潔的、冰冷的形式化美麗”；教育形態是指教師通過自己的設計，將學術形態的數學知識有效地“激活”，使學生在學習數學時，能夠模仿數學家那樣進行“火熱的思考”，它是介于原始形態和學術形態之間的一種形態．

弗賴登塔爾曾經這樣描述數學的表達形式：沒有一種數學的思想，以它被發現時的那個樣子公開發表出來，一個問題被解決后，相應地發展為一種形式化技巧，結果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發明變成冰冷的美麗，因此他說教材是“教學法的顛倒”．為了彰顯數學知識的過程性，通過數學知識的教育形式散發出數學的巨大魅力，讓數學“冰冷的美麗”煥發學生“火熱的思考”，在數學教學設計中需要采用稚化思維的設計策略．

所謂稚化思維，就是教師把自己的外在權威隱蔽起來，在教學時不以一個知識豐富的教師自居，而是把自己的思維降格到學生的思維水平上，親近學生，接近學生，有意識地退回到與學生相仿的思維狀態，設身處地地揣摩學生的學習水平、狀態等，有意識地生發一種陌生感、新鮮感，以與學生同樣的認知興趣、同樣的學習情緒、同樣的思維情境、共同的探究行為來完成教學的和諧共創．

比如在高中數學教材中，定義了直線的方向向量．為什么要給出這一數學概念？為什么要采用這樣的方式來對其進行定義？通過分析與探究不難發現，定義直線的方向向量的根本目的，是為了刻畫和確定直線的方向．所謂直線的方向相同，就是指這些直線是互相平行的．那么，為什么不定義直線的“法向量”（與直線垂直的非零向量）？可否用直線的“法向量”來刻畫直線的方向呢？回答是否定的，因為一個直線的“法向量”無法確定直線的方向．兩個不共線的“法向量”可以確定一個平面，而與平面垂直的直線的方向是確定的．由此可見，用與直線垂直的兩個不共線的非零向量也可以表示這條直線的方向，只不過數學追求簡潔美，用直線的方向向量只需一個向量就可以了[3]．

通過類似于以上這樣的分析和探究，有助于掌握數學知識的產生和形成的客觀基礎，包括知識的來龍去脈，結論的背景、產生過程和意義，獲取知識的方法等．這樣不僅可以避免“知其然而不知其所以然”，而且可以有效把握知識的本質和思想方法．

需要說明的是，沒有對數學知識的來龍去脈的正確把握，不僅會影響對數學概念發展的認知和理解，也會影響到對具體數學問題的解決．比如，對于題目“求

的所有實數根”的求解，當有人在求解中利用二次方程之判別式應大于或等于0時，即

時，許多人對此就會提出“更正”．理由是“原方程根本就不是二次方程”，不能用判別式[4]．產生這一錯誤認識的根本原因，就在于當人們熟記住了一元二次方程的求根公式之后，許多人忘記了求根公式的來龍去脈，忘記了判別式其實是“配方法的結果”，想當然地認為只有對一元二次方程才能使用判別式非負的性質．

所以教師在引導學生學習知識的過程中，為了凸顯知識的本質特征，強化學生的數學理解，就必需重視知識的生成、發生、發展等過程性．掐頭去尾燒中段，忽視知識的來龍去脈，有意無意減縮思維過程，就可能造成思維斷層，出現嚴重“消化不良”，這樣就會導致學生對知識的表層理解和機械記憶．

3 教“思想”

數學問題可以千變萬化，而其中運用的數學思想方法，卻往往是相通的．不去領悟數學思想方法，只滿足于對知識結論的記憶和解題技巧的掌握，這種“重術輕道”的數學教學，難以培養出有創造力的人才[5]．因為數學知識教學只是信息的傳遞，而數學思想方法的教學才能使學生形成觀點和技能．數學學習的根本目的，就在于掌握這種具有普遍意義和廣泛遷移價值的策略性知識——數學思想方法．

所謂數學思想，是指人們從某些具體數學內容和對數學的認識過程中抽象概括出來的對數學知識內容的本質認識．數學方法是指人們在數學問題解決過程中所采取的步驟、程序和實施辦法．數學思想是數學的靈魂，是數學內容和數學方法的升華與結晶，它支配著數學的實踐活動．數學方法是數學思想的表現形式和得以實現的手段，它為數學思想提供邏輯手段和操作原則．運用數學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種量的積累達到一定程度時就產生了質的飛躍，從而上升為數學思想．若把數學知識看作一幅構思巧妙的藍圖而建筑起來的一座宏偉大廈，那么數學方法相當于建筑施工的手段，這張藍圖就相當于數學思想．

數學教材中蘊涵了豐富的數學思想方法，但這些思想方法往往并沒有明確地寫在教材上．如果說顯性的數學知識是寫在教材上的一條明線，那么隱性的思想方法就是潛藏其中的一條暗線．明線容易理解，暗線不易看明．“明線”直接用文字形式寫在教材里，反映知識間的縱向聯系；“暗線”反映著知識間的橫向聯系，常常隱藏在基礎知識的背后，需要經過分析、提煉才能顯露出來．在數學教材里，到處都體現著這兩條線的有機結合．在數學教學中，在教顯性知識的同時，能否教出隱性的思想，既影響到了學習的效果，又彰顯了教師的素質和水平．

對許多函數性質的研究和探討，滲透的都是這些思想方法，它們不依內容而異，呈現出某種相通性．這些思想方法看不見、摸不著，要使學生較好地掌握它們：一方面，教師在涉及到思想方法的關鍵處，要多留出時間讓學生進行獨立分析和思考，盡可能讓他們自己尋找和“發現”這些思想方法，“逼迫”他們在面臨問題時學會“數形結合”，學會“分類討論”，學會“從特殊到一般”等，因為具體函數及其性質僅是學習的載體，通過知識學習掌握這些思想方法、具備這種能力，才是教學的重點和關鍵；另一方面，教師在教學中要有意識地使用一些提示語，使學生在潛移默化地領會思想方法的同時，盡可能使數學思想方法顯性化，使學生對思想方法的學習和掌握，從自發走向自覺，從無意識默會走向有意識習得．

教學中不僅要教宏觀意義的思想方法，也要教具體解決問題的思想方法．比如在數學問題解決的教學中，教師在教學時要善于通過“多解歸一”的方式，尋求不同解法的共同本質，乃至不同知識類別及思考方式的共性，上升到思想方法、哲理觀點的高度，從而不斷地抽象出具有共性的數學方法．因為數學知識的鞏固主要在于做題，但做數學題不僅要注意“一題多解”，更要注意“多解歸一”．“一題”之所以能“多解”，往往就在于這些解法之間是有聯系的，這些聯系之間是有規律可循的，通過“多解”后的“歸一”，讓學生能夠站在系統的高度看問題，進而升華到從哲學的角度認知世界，這樣就可以形成強大的學習能力．

比如對于高中教材中正弦定理的證明，常見的有以下幾種不同的證明方法：

（1）作三角形底邊上的高線，以高作橋梁進行證明；

（2）作三角形底邊上的高線，利用面積法進行證明；

（3）作三角形的外接圓來進行證明；

（4）作三角形的角平分線，根據角平分線定理及角平分線性質定理進行證明．

在具體教學中，究竟講幾種方法為好，常使任課教師感到困惑．其實，問題的關鍵并不在于方法的多與寡，而更在于能否透過不同解法，挖掘與提煉出更一般的思想方法，即不變量思想和化歸轉化思想．第一種證法是以高作為不變量來建立等量關系，第二種證法是以面積作為不變量來建立等量關系，第三種證法是以三角形的外接圓的直徑作為不變量來建立等量關系，第四種證法是根據角平分線性質定理中的線段相等來建立等量關系．而在以上無論哪種方法的證明過程中，都是通過添加輔助線構造出了直角三角形，利用直角三角形中三角函數的定義建立邊與角的關系，而這就是數學中化歸轉化思想的具體體現．

4 教“結構”

數學家華羅庚先生常說“既要能把書讀厚，又要能把書讀薄”．讀厚，就是要把每一邏輯關系，每一個細節搞清楚，想明白；讀薄，就是能抓住課程的主線和基本脈絡，抓住課程的內在聯系，形成整體認識．

美國教育家布魯納也認為，“不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構．”所謂學科基本結構，是指該學科的基本概念、基本原理及其相互之間的關聯性，是指知識的整體性和事物的普遍聯系，而非孤立的事實本身和零碎的知識結論．他認為，這種基本結構應該成為教學過程的核心，因為掌握了學科知識的基本結構，就能把握住知識體系的核心和關鍵，就可以從宏觀上理解學科知識，避免“只見樹木不見森林”．

比如，在初中數學教材中，從等角定理（如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補）出發，通過對一個角的一邊或兩邊的平移，與另一個角的邊的重合，不難發現這樣一個事實，即分散在課本里的6條定義、定理（角相等定義、平角定義、對頂角相等，兩直線平行則同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補），竟全包括在一個等角定理內．這1個定理是那6條定義、定理的聯合推廣，那6條定義、定理則是這1個定理的特例．因為它們原本是一個系統．

正如數學特級教師孫維剛所言，融會貫通的過程，使人們透過繁雜的現象，抓住了本質，同時簡化了記記．更重要的是，接觸到了一種嶄新的認識問題的思想方法：由尋找聯系入手，運用定義、平移變換等數學思想和從“特殊到一般，又從一般到特殊”的方法，把個別的、離散的現象構造成渾然一體的系統，這已經標志著能力的提高和素質的發展了．以這種提高和發展，去學習、去解題，將與過去不可同日而語[6]．

又如，單調性、斜率與導數是3個不同的數學概念，分別在高中不同階段進行學習．表面看似聯系不甚緊密的3個概念，其實存在著內在的本質性聯系．

可以看出，只有打通不同知識之間的壁壘，對學科知識體系通曉義理、融會貫通，才能在教學時達到觸類旁通、左右逢源的效果．

總之，教師要做到“淺出”，必需先進行“深入”．通過犀利而深邃的數學眼光，透過教材中各種數學概念、公式、定理、法則和圖表，看到書中跳躍著的真實而鮮活的數學內容．這些涉及本質、過程、思想、結構等的隱性內容，給人的感覺是“不在書里，就在書里”．此時的教師身上自然散發著一種獨特的數學光華與氣息，攜自身的全部數學涵養融入教室、融入課堂、融入學生，學生由此而汲取數學的豐富營養．

[1] 張奠宙．關于數學知識的教育形態[J]．數學通報，2001，（4）：1-2．

[2] 張奠宙．教育數學是具有教育形態的數學[J]．數學教育學報，2005，14（3）：1-3．

[3] 李祎．基于探究學習的數學教學策略研究[J]．數學通報，2009，（2）：22-24．

[4] 羅增儒．數學解題學引論[M]．西安：陜西師范大學出版社，1997．

[5] 劉茂全．從道家思想看數學教學中的幾個關系問題[J]．數學教育學報，2008，17（1）：15-17．

[6] 孫維剛．孫維剛初中數學[M]．北京：北京大學出版社，2005．

High Level of Mathematics Teaching in the End What to Teach

LI Yi

(College of Mathematics and Computer, Fujian Normal University, Fujian Fuzhou 350108, China)

Mathematics teacher’s teaching level firstly reflects on the mastery of teaching content. A high level of teachers can not only teach explicit knowledge in textbook, but also can teach the tacit knowledge in textbook which can’t be mined by other teachers. The tacit knowledge which is not easy to be mined is mathematical essence, mathematical ideas, mathematical process and mathematical structure. A high level of teachers can recognize the tacit knowledge in textbook, and have a conversation with the tacit knowledge which can be acquired by mining mathematical concepts and mathematical conclusions. It is helpful to improve the effect of classroom teaching and students’ comprehensive ability.

mathematical essence; mathematical process; mathematical ideas; mathematical structure

2014–07–10

2013年教育部人文社會科學研究規劃基金——數學教師基于教學的學科知識水平發展研究（13YJA880043）

李祎（1971—），男，山西臨汾人，教授，博士，博士生導師，主要從事數學教育研究．

G420

A

1004–9894（2014）06–0031–05

[責任編校：周學智]