大學生健康減肥問題的數學建模

摘要：隨著物質條件的提高，大學生肥胖人群呈逐漸增大趨勢，如何進行科學而健康減肥是大學生肥胖人群關注的焦點。通過控制飲食和適當運動，才能在不傷害身體的情況下，達到減輕體重并維持下去的目的。運用數學建模的方法來研究大學生健康減肥問題，通過引入人的體重與時間的函數關系，建立一個微分方程模型，解決每天攝入量，運動強度與體重的關系，并由此通過節食與運動制定合理有效科學的減肥計劃。

關鍵詞：微分方程能量守恒熱量脂肪

1.引言

隨著社會的進步和發展，人們的生活水平不斷提高，飲食營養攝入的改善和變化，生活方式的改變，使得肥胖成了社會關注的一個話題。對于當代大學生而言，由于大部分的學生自我服務的意識不強，所以大學生中肥胖問題也很突出，主要原因如下：（1）大學生習慣性晚睡晚起（據調查70%的在校大學生睡覺時間均在零點之后，無課的情況下，特別是節假日，起床時間為第二天的10點之后很普遍）。

（2）經常性的以垃圾食品與快餐代替每日的主食。（據調查部分大學生為了避免去食堂排隊都會選擇用泡面或零食解決）。

（3）生活習慣不規律，隨著互聯網的普及，絕大數大學生選擇宅在寢室打游戲，更有甚者足不出戶，連日常的生活用品也用網購代替。

（4）大學生每個星期只有一節體育課，偌大的操場也很少看到學生鍛煉。過少的運動也是導致肥胖的原因之一。每年的體能測試長跑總有部分學生堅持不了也充分體現了運動過少導致大學生身體素質極速下降。

（5）睡覺前愛吃東西，由于人體的各個器官在晚上十點之后處于休息狀態，睡覺前吃東西不僅會增加身體的負擔，更是導致肥胖的因素之一。

（6）遺傳導致的家族肥胖史，這主要是由于生活習慣的遺傳（例如母親愛吃肥肉，做菜時經常放肥肉導致孩子長大后做菜也愛放肥肉）或臟器機能的遺傳（能否充分的代謝脂肪）。

（7）由于亂吃減肥藥導致機體新陳代謝紊亂，三大產能營養素（蛋白質，脂肪，碳水化合物）都轉化為脂肪儲存起來形成肥胖，俗稱的喝涼水都長肉。

（8）肝功能弱代謝不掉多余的脂肪。

（9）環境影響，經常吸入油脂，導致脂肪沉淀。

2.問題的分析

根據中國生理科學會修訂并建議的我國人民的膳食指南可知：

（1）每日膳食中，營養素的供給量是作為保證正常人身體健康而提出的膳食質量標準，營養素的需求量是指維持身體正常的生理功能所需要的數量低于這個數量，將使身體產生不利的影響。

（2）人體的體重是評定膳食能量攝入適當與否的重要標志。

（3）人體熱能需要量的多少，主要決定于三個方面：維持人體基本代謝所需要的能量、從事勞動和其它活動所消耗的能量以及食物的特殊動力作用（將食物轉化為人體所需的能量）所消耗的能量。

（4）一般情況下，成年男子每一千克體重每小時平均消耗熱量為4200焦耳。

（5）一般情況下，食用普通的混合膳食，食物的特殊動力作用所需要的額外的能量消耗為焦耳，相當于基礎代謝的。

每日膳食中，營養的供給是作為保證正常人身體健康而提出的膳食質量標準，營養素的要求量是指維持身體正常的生理能所需的營養素的數量，如果人們在飲食中攝入營養素的數量低于這個數量，將使身體產生不利的影響。（每天膳食提供的熱量不少于焦耳，這是維持正常命活動的最少熱量）

事實上，成人每天需要的熱量= 人體基本代謝需要的熱量+ 體力活動需要的熱量，而熱量主要由脂肪、蛋白質、碳水化合物轉化而得。

本問題要建立減肥的數學模型，減肥是個比較長期和不定的過程，因此要用數學的方法對減肥這一問題建模，就得建立一個測量肥胖的標準量，因為人體的脂肪是主要儲存和提供能量的方式，而且也是減肥的主要目標。因此我們把人體脂肪的重量作為體重的標志。已知脂肪的轉化率為，每千克脂肪可以轉化為焦耳/千克，稱為脂肪的能量轉化系數。

減肥其實就是將人的體重降下來，因此在減肥的過程中我們要對人的體重進行持續的檢測，可以將人的體重看作時間的函數。

在減肥的過程中，無論是攝取食物導致體重的增加還是由于體能活動消耗導致體能的減少，亦或是還有其他一些不可預知的因素，這都是一個漸變的過程。所以我們認為能量的攝取和消耗都是隨時發生的。而不同的活動對能量消耗是不同的。所以我們在建模的過程中需要設定一個參數用來表示某種活動消耗的能量。記為某一種活動每小時所消耗的能量，記為一千克體重一小時所消耗的能量。

3.符號說明

D：脂肪的能量轉化系數。

w（t）：人體的體重關于時間的函數。

r：每千克體重每小時運動所消耗的能量（kcal/kg）/h

b：每千克體重每小時所消耗的能量（kcal/kg）/h

A：每天攝入的能量。

B：每人每天每千克體重基礎代謝所消耗的能量。

4.模型的假設

（1）假設以人體脂肪的重量作為體重的標志。

（2）假設單位時間內人體的能量消耗與其體重成正比。

（3）假設體重隨時間的變化函數w（t）是連續的且充分光滑。

（4）假設人體每天攝入的能量是一定的，記為A.

（5）在研究減肥的過程中，我們忽略個體間的差異（年齡，性別，身體狀況）對減肥的影響。

（6）假設單位時間內人體由于基礎代謝和食物特殊動力作用所消耗的能量正比于人的體重。

5.模型的建立與求解

建模的過程中，我們以1天（=24小時）為時間的計量單位。則以天為單位的基礎代謝的能量消耗量為

B=24b （kcal/d）。

由于人的活動一般不會是全天進行的，假設每天人體活動小時，則一天內由于活動所消耗的能量應為

R=rh（kcal/d）

按照假設3體重隨時間的變化是連續的且充分光滑。我們可以在任何一個時間段內考慮由于能量的攝入與消耗導致人體重的變化。

按照能量的平衡原理，任何時間段內由于體重的改變所引起的人體內能量折變化應該等于這段時間內攝入的能量與消耗的能量之差。

我們選取某一時間段[t，t+Δt]，在時間段內[t，t+Δt]內考慮能量的改變。設體重改變的能量變化為Δw，則有

Δw=[w（t+Δt）-w（t）]D

設攝入與消耗的能量之差為ΔM，則有

ΔM=A[-（B+R）w（t）]Δt

根據平衡原理有

Δw=ΔM

即

A[-（B+R）w（t）]Δt=[w（t+Δt）-w（t）]D

以Δ（T）除等式兩端并令Δ（t）→0取極限，可得

dwdt=A-DW

w（0）=w0 （1）

其中

σ=AD，d=B+RD。

如果把B理解為以減肥為目的的能量的消耗，則方程（1）就給出了一個減肥的數學模型。

模型求解有：

w（t）=w0edt+ad[1-edt]（2）

利用此方法可以求解出每個人想要達到自己理想體重目標所需要的時間。

為了加快減肥的速度，有必要進行適量的運動，以下列舉幾項運動每小時每千克體重消耗的熱量表

運動跑步跳舞乒乓球自行車

（中速）游泳

（50m/min）能量消耗/k7.03.04.42.57.9

在（2）中假設即假設停止進食，從而沒有任何能量攝入，這時體重的變化（減少）完全是由于體內脂肪的消耗而產生的，于是有

w（t）=w0×（1-edt）.

這表明在時間[0，t]內體重減少的百分率由1-e-dt給出，稱之為[0，t]時間內的體重消耗率。自然e-dt應理解為[0，t]時間內體重的保存率，它表明在時間t保存的體重占初始體重的百分數）。如此繼續下去，脂肪將消耗殆盡，可知不進食的節食減肥方法是不可取的。

ad是模型中一個重要的參數。由于α=AD表示由于能量的攝入而增加的體重，而d=B+RD表示由于能量的消耗而失掉的百分數（每單位體重中由于基礎代謝和活動而消耗掉的那部分）。于是ad就表示通過能量的攝取對每的體重消耗所獲得的體重的補充量。

基于上面的分析，由式（2）可以看出時刻的休重是由兩部分構成的。一部分是初始體重中由于能量的消耗被保存下來的那部分，另一部分則是由于 能量的攝取致使所消耗的那部分體重獲得的補充量。這一個解釋從直觀理解上也是合理的。因此我們可以認為所組建的模型是成功的。

6.模型的推廣與評價

此模型能夠建立每天的攝取量與消耗量的關系，能夠清楚的看出能量的消耗與食物的攝取運動量的消耗之間的關系。當代大學生可以通過自身的情況量身定做適合自己的減肥計劃，由于大學生有足夠的時間和精力，充分控制好自己的飲食，利用學校的設施增加運動量從而達到減肥的目的。大學生在減肥期間應規律作息，少吃高熱量的食物，多吃蔬菜水果和高纖維食品，適當的增加自己的運動量，在減肥的同時也能達到強身健體的目的。從以上的模型分析中我們也可以了解到，游泳這項運動是消耗熱量最快的一項運動，適合大學生在減肥期間采納。

但在實際生活中，減肥的過程比模型所描述的要復雜的多，這個模型總結出了飲食與鍛煉這兩個因素與減肥的關系。有助于大學生走出減肥誤區（比如藥物減肥和節食減肥），一般的減肥藥都會有很強的副作用或是打亂了我們自身身體系統的新陳代謝，導致體質變弱或者是其他器官出現毛病。從模型也能看出節食減肥即停止進食，所消耗的熱量全部有脂肪轉化，但在現實生活中這是不科學也是不可取的，節食減肥由于機體沒有攝入應有的熱量也會導致身體變差，而且在恢復食量的過程中體重會反彈的很厲害。此模型能幫助我們樹立正確的減肥的觀念，通過了解減肥關鍵的兩個因素從而結合自身的實際情況來從飲食和運動兩個方面制定合理的減肥計劃。但由于現實生活中我們所假設的都是不可控制的，模型中有些數據不夠精準，有些因素考慮的不全面，所以對于減肥模型更深入的研究還有賴于進一步構建更詳細的模型。

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基金項目：黃岡師范學院科學研究項目（2013020103），黃岡師范學院教學研究項目（2013ce21），黃岡師范學院實驗教學示范中心大學生創新活動項目（zx201375），黃岡師范學院校級重點學科數學學科教學研究項目（sxjy201408）。