利用數學開放題提高創新能力的培養

【摘要】本文闡述了數學開放題的含義及特點，探討了數學開放題對培養學生創新能力的作用.

【關鍵詞】數學開放題；創新能力；發散思維

數學開放題始于70年代，由一個日本學者群體率先研究“開放式結尾（openended）問題”.這很快得到世界各國數學界的支持.1998年2月經我國教育研究小組批準“開放題——數學教學的新模式”立項為全國教學科學規劃重點課題.1998年全國數學高考試卷中，首次出現了開放性問題.現在數學開放題已成為教改的熱點，日益受到教育界的重視.

數學開放題調動了學生學習數學的積極性，激發學生的求知欲和進取精神，有利于培養發散思維和創造性能力.本文試從數學開放題提高學生的創新能力這一角度，對其教育價值作探討.

一、數學開放題幾個理論問題

1.數學開放題的含義

“數學開放題”并非是業經審定的規范數學名詞，至今數學教育界并未形成公認的界定.通常的理解是指“條件”“解法”“結論”具有多樣化和不確定性的問題.筆者認為，開放題是給學生解的，因此必須要考慮解題主體——人的主觀能動作用.學生的生活經驗和解題能力有很大的差別，他們在不同的階段對同一問題的認識也不同，有些題對一些人是開放的，但對另一些人可能是封閉的.例如，對幾個人兩兩握手共握多少次的問題，在學生學習組合知識之前解法很多，是一個開放題，在學習組合知識之后則是一個封閉題.

從現代心理學的研究來分析，一道題的開放性和封閉性

取決于這道題對解題主體激發的思維之性質.如果激發的思維是發散性的，就是開放題.因此，能激發發散思維且解決方向（思路）不唯一的數學問題是數學開放題.

2.數學開放題的分類

數學開放題的分類也有好幾種，有按數學命題未知要素

劃分的，有按題目解答要求劃分的，有按答案劃分的，有按學習過程的訓練價值劃分的.如果按未知要素分類，數學開放題可分為：

（1） 題設開放題

給定結論，沒有給出條件或條件不完備，來反探滿足結論

的條件，而結論的條件并不唯一.

（2）策略方法開放題

給出了條件和結論，但其解題策略和方法不明確，需根據

條件找到不同的解決策略，從而尋找最優解.

（3）結論開放題

給出條件，結論是未知的或不確定的，需在給定條件下

探討出結論.

（4）綜合開放題

只給出一定的問題情景，其條件、解題策略和結論均

需解題者在情景中去設定和尋找.

3.數學開放題的特點

下面通過分析一道典型的數學開放題來認識數學開

放題的特點.

例如：在一塊矩形地上欲開辟出一部分作為花壇，要使花壇

的面積為矩形面積的一半，請給出你的設計方案.

這道題的條件是“一塊矩形地塊”，結論是“使花壇的面積為矩形面積的一半”.而設計方案與理論依據不確定，因人而異，從而使得具體的結果不確切（結果是“面積”為矩形面積的一半的花壇，而題目對“花壇”沒有形狀方面的規定），這就需要解題者打破原有的思維模式，展開聯想和想象的翅膀，從多角度、多方面尋找答案即進行發散思維.

以上題為例，我們可歸納出數學開放題的以下特征.

（1）非完備性.

在開放題中，要么條件不充足，要么結論省去，要么解題方法和依據不明確，因而其四要素是不完備的.

（2）不確定性.

對于條件開放題而言，其條件可能是多樣的；對于結論

開放題而言，其結論是不唯一的；對于策略開放題而言，它只給出一定的問題情景，其條件、解題策略和結論均需解題者在情景中去設定和尋找.

（3）發散性.

數學開放題需要解題者聯合運用觀察、想象、分析、綜

合、類比、演繹、歸納、概括等思維方法，同時探索多個解決方向，創造新思維和新方法，獲得多種結果，并加以整理和論證.

（4）探究性.

開放題的解答沒有固定的、現成的模式，解題者不能用

常規方法套用，必須經過思索，自己來設計解題方案.因而，問題的解決需要有大膽的探索精神和一定的探索能力.

（5）創新性.

在解答開放題的過程中，可能引申推廣出更一般的問

題，這些往往是意料之外的事情.因而，開放題有利于學生創新意識和創造能力的培養.

二、 利用數學開放題提高學生創新能力

創新是人類的一種特有的意識和能力的表現，主要是指

人類對原有理論知識或行為方式的突破或改變，并以前所未有的積極形式表現出來，是一種全新的創造發明.由于數學開放題有思維發散的特征，所以有利于培養學生的創新能力.

1.數學開放題比數學封閉題更有利于培養學生的創新能力

傳統封閉題條件完備，答案固定，解法單一，有固定的

套路，定向性強，有利于鞏固推理技巧和加深知識理解.但正因為這樣的特點，學生通過模仿就能掌握，所以會導致學生偏重記憶一些方面的方法和發展一些具體機能來通過考試.這禁錮了學生的創新意識.而開放題的條件不充分或沒有確定的結論，不囿于唯一答案或鉆牛角尖的探求.在某些方面需要創造出新的思想和新的方法來解決到底，做多方探求和全新創造.因此開放題有利于創新能力的培養.

1990年，學者胡林瑞用5道外國開放數學題對安徽省黃山市屯溪二中51名初中和高中學生做一次測試，得出“高中生解這類題的能力并不比初中生強，他們雖然多讀了三年書，知識和技能上可能多一些，但發現創造性思維能力都無甚增長”的令人驚訝的結論.測試說明知識、技能的堆砌對學生的創造性思維能力的發展沒有幫助.

這些問題都說明，數學開放題確實比封閉題更利于培養學生的創新能力.

2.數學開放題對培養學生創新能力的作用

下面我們從一道數學開放題來分析：

例如，甲、乙兩人連續6年對某縣農村養雞專業規模進行調查，提供兩個不同信息（如甲、乙兩圖）.

甲調查表明：從第1年每個養雞場出產1萬只雞上升到第6年平均每個雞場出產2萬只雞.

乙調查表明：由第1年養雞場個數30個減少到第6年10個，請你根據提供的信息說明：

（1） 第2年養雞場的個數及全縣出產雞總數；

（2）到第6年這個縣的養雞業比第1年擴大了還是縮小了？（說明理由）

（3）哪一年的規模最大？（說明理由）

這是一道數學策略開放題，題目給出了實際問題的情景及所要求的結論，要求學生根據題意對一些常見的可能進行列舉、計算，這種解答推理過程沒有現成的模式可套，就需要學生探求新的思路和方法.可利用圖表提供的信息，選擇一次函數作為模型，也可以利用等差數列的模型，這樣實現了實際問題的數學化，從而得出以下結論：

（1） 第2年養雞場個數為26個，全縣出產雞總數312萬只.

（2）規模縮小，原因是：第1年出產雞總數30萬只，第6年出產雞總數為20萬只.

（3）第幾年規模最大，即出產雞總數最多，只要求a b= 的最大值，根據數學知識，結合實際情況，可求得時最大值為31.2萬只.

在解答這道題的過程中，沒有固定的、現成的模式可循，僅靠死記硬背、機械模仿不可能找到的解答，學生必須充分調動自己的知識儲備，積極開展智力活動，多角度，用多種思維方法進行思考和探索.所以，開放題可以提高創新能力，引入數學開放題有利于克服傳統封閉題給學生帶來的定式影響，有助于培養學生的探索研究精神進而提高他們的創新能力，推進素質教育.