有關焦半徑圓錐曲線問題的極坐標解法初探

【摘要】在極坐標系下，解決圓錐曲線問題往往以其焦點為極點建立極坐標系，其極坐標方程適用于橢圓、雙曲線、拋物線.由此本文將以涉及焦半徑的三大圓錐曲線問題為主要載體突出體現(xiàn)極坐標方法相對于傳統(tǒng)方法在處理圓錐曲線問題中的優(yōu)越性、普遍性.

【關鍵詞】極坐標方程；橢圓；雙曲線；拋物線；焦半徑

在高中數(shù)學中，我們知道橢圓、雙曲線、拋物線可以統(tǒng)一定義為：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比等于常數(shù)e的點的軌跡.當01時是雙曲線，e=1時是拋物線.這時稱定點為焦點，定直線為準線，常數(shù)e稱為離心率.

首先假設一定點F的位置位于定直線l的右側(cè)（如圖1），過點F作準線l的垂線，垂足為K，以焦點FK的反向延長線Fx為極軸，建立極坐標系.

設M（ρ，θ）是曲線上任意一點，連接MF，并

作MA⊥l，MB⊥l，MB⊥Fx，垂足分別為A，B.

以上分別采用直角坐標方法和極坐標方法分別求解了有關拋物線的問題.對比以上兩種方法可以看出直角坐標方法求解需要引進的字母更多，運算量也更大，所以極坐標方法求解可以減少演算步驟，更加快捷巧妙.

極坐標方法不僅僅在拋物線中有著巧妙的應用，其實由于極坐標方程適用于三大圓錐曲線，那么在橢圓及雙曲線中都有非常廣泛的應用.

各種類型的圓錐曲線都可以利用建立極坐標系的方法得以求解，并且解題過程都比較類似，是處理圓錐曲線問題的一種難能可貴的通法.相對于在直角坐標系中處理相同的問題，極坐標方法更加巧妙、快捷，在高中數(shù)學中獨樹一幟.同時極坐標方程是由統(tǒng)一的圓錐曲線定義推導出來的，充分體現(xiàn)圓錐曲線的統(tǒng)一美、和諧美，在研究圓錐曲線共同性質(zhì)上有得天獨厚的優(yōu)越感.

當然極坐標方法在處理圓錐曲線問題上也有局限性.在用極坐標系處理圓錐曲線問題中常常以焦點為極點，所以極坐標方法主要適用于涉及焦半徑或焦點弦的問題.

【參考文獻】

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