一元多項式重因式的存在性及求法

【摘要】本文討論了一元多項式重因式的存在性、求法及其重數的判定，歸納給出解決這三個問題的系統方法，并結合具體例子驗證了這些方法的有效性.

【關鍵詞】一元多項式；重因式；重因式的重數；不可約多項式；互素

【中圖分類號】O151.21

【基金項目】國家自然科學基金面上項目（青年科學基金項目），項目批準號：11371025.

一元多項式重因式是多項式理論中一個重要的內容，它既是一元多項式整除理論和因式分解理論的應用，又是討論多項式函數求根問題的基礎，牽涉整除、最大公因式、互素、不可約多項式等諸多內容. 對于數域P上的一個多項式f（x），怎么判斷它有沒有重因式？在其重因式存在的情況下，怎么求出其重因式和重數？

本文作者在多年從事高等代數的教學過程中，發現這些有關重因式的問題是學生學習過程中的一個難點，學生們需要對這些問題全面深入的分析和解讀.然而，比如[1][2][3]這些廣泛使用的經典教材，在處理重因式這一內容時，都只做了簡略的介紹，沒有深入細致的刻畫. 其他大多數高等代數教材（例如[4][5][6]等），也都沒有全面討論重因式的這些問題. 基于此，本文將深入系統討論一元多項式重因式的存在性及其求法等問題，給出解決這些問題的完整方法，以促進和加深學生們及數學愛好者對這些問題的理解.

本文首先給出幾個基本結論，特別之處在于對它們做了細致的證明，這為后文所要建立的方法提供了堅實的理論基礎. 接著，給出了重因式存在性的判別方法、重因式的求法以及重因數重數的判定方法，這一部分要特別注意給出這些方法的次序，這是一個系統的方法. 在介紹這些方法的同時，文中也結合具體的例子，驗證了這些方法的有效性.

一、準備知識

1.記 號

本文中P代表一個數域，P[x]表示數域P上的一元多項式環，f′（x）表示P[x]中多項式f（x）的微商.（f（x），f′（x）為f（x）與f′（x） 的首項系數為1的最大公因式.

2.重因式的定義

若p（x）為數域P上的不可約多項式，對于多項式f（x）∈P[x]，如果pk（x）|f（x），而pk+1（x），其中k為非負整數，則稱p（x）為f（x）的k重因式. 當k=0時，p（x）不是f（x）的因式.當k=1時，稱p（x）為f（x）的單因式. 當k>1時，稱p（x）為f（x）的重因式.（參見[1]）

注意此處“重因式”和“k重因式”的聯系和區別. “重因式”是k>1的“k重因式”.

二、理論基礎

命題1 已知f（x）∈P[x]，若數域p上的不可約多項式p（x）是f（x）的k重因式（k≥1），則它是f′（x）的k-1重因式.

【參考文獻】

[1]北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組（王萼芳，石生明修訂）. 高等代數[M].3. 北京：高等教育出版社，2003：22-24.

[2]張禾瑞，郝钅丙新. 高等代數[M].4.北京：高等教育出版社，1999：56-58.

[3]張賢科，許甫華.高等代數學[M].2.北京：清華大學出版社，2006：20-21.

[4]陽慶節等.高等代數簡明教程[M].2.北京：中國人民大學出版社，2010.

[5]姚慕生.高等代數[M].上海：復旦大學出版社，2002.

[6]施武杰，戴桂生.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2005.