論導數在初等數學中的應用

【摘要】微分學是高等數學中的一個重要分支，它的應用很廣泛，尤其利用它可以解決初等數學中的一些難點問題.本文以導數的應用為切入點，闡述了如何利用導數解決初等數學中求曲線的切線、不等式的證明、求函數的極值以及判斷某些方程的根的個數的問題.

【關鍵詞】導數；應用；初等數學

導數是從許多實際問題抽象出來的數學概念，它可以研究函數的變化速率問題，即變化率問題，它的應用很廣泛，尤其在初等數學中也有很大的用途，以下從四個方面談談導數在初等數學中的應用.

函數的導數是增量之比的極限，即lim例1 在曲線 y=x3+x-2上求一點，使曲線在該點的切線與直線4x-y-3=0平行.

解 由于y′=3x2+1，又直線4x-y-3=0的斜率為4，因為切線與直線平行，

所以有3x2+1=4，得x=±1，代入曲線得y=0，y=4.故所求點為（1，0），（-1，-4）.

二、不等式的證明

這里主要利用函數的單調性及拉格朗日中值定理兩種方法.用單調性的關鍵是選擇適當的輔助函數.拉格朗日定理：設函數f（x）在閉區間（a，b）上連續，在開區間（a，b）內可導，則在區間（a，b）內至少存在一點ξ，使得

三 、求函數的極值

設函數f（x）在點x0處可導，如果點x0是f（x）的極值點，則在點x0處的導數為零，即f′（x0）=0，使f′（x0）=0的點x0叫駐點.f（x）=0只是極值存在的必要條件.但在實際問題中，往往駐點就是極值點，也即取得最大（小）值的點.