高中數學中的一題多解問題

【摘要】本文著意探討高中數學教學中一題多解的問題.通過一題多解，可以實現對不同章節、不同內容的復習運用，使不同內容的數學知識之間發生聯系，對知識的學習網絡化、系統化，由點成面，形成一個完整而系統的數學知識體系.通過一題多解，也能實現知識的活學活用，增強學生的解題能力，提高學生的解題水平和技巧，最終實現提高學生數學學習綜合素質的目的.

【關鍵詞】高中數學；一題多解

高中數學教材內容有“兩多”：知識點多，題型多.因此老師就常使用“舉一反三”的方法進行教學，其目的在于以點帶面，觸類旁通.對學習能力較強的學生而言，能拓寬知識面，提高知識的應用能力.然而，對于數學學習較困難的學生，舉一反三很難達到此目的，反而會造成他們理解上的諸多混亂，使他們望而卻步，一定程度上影響其學習效果.因此，在教學中，特別是在高三復習中，可以引導學生運用題組訓練構建數學知識網絡，實現一題多解，提升學生解決問題的能力.

學習數學，自然需要解題，波利亞的觀點：“數學技能就是解題能力——不僅能解決一般的問題，而且能解決需要某種程度的獨立思考、判斷力、獨創性想象力的問題.所以中學數學的首要任務就在于加強解題能力的訓練.”解題是實踐性的技能，在數學解題教學中，教師要讓學生學會審題，養成驗算的良好習慣，懂得反思總結.

讀審題是一種綜合能力，它包括認真細致的態度等多種非智力因素，也包括閱讀、理解、分析等多種智力因素.

一個題目包含的信息有時是比較隱蔽的，甚至隱藏得很深，這就需要我們去發現、發掘、辨別、分析，這是一種能力，也是解題的關鍵點.讀題是解題的基礎，是正確、迅速解題的前提.為此在解題時要注意審視題目的條件、結論、結構，充分挖掘題目顯性和隱性的信息，引導學生分析題目中各個量的特點、聯系，調動既有知識體系中關聯知識點實現解題.

驗算是解決數學問題不可缺少的環節，是初步完成解題后不可或缺的一步，它可以進一步檢查、更正、補充學生在初次解題中存在的錯誤和缺失，是保證題目正確解決的必要步驟和手段.掌握驗算的方法，養成驗算的習慣是學好數學的重要條件之一.

學會反思是指解題后對審題過程和解題方法及解題所用知識的回顧與思考.學會反思，對學生思維品質等各方面的培養都有積極的意義.

數學知識之間聯系縱橫交錯，解題思路靈活，解題方法多樣，但終卻能殊途同歸.即使一次性解題合理正確，也未必就是最佳思路，未必就是最優最簡潔的解法.

例 在△ABC中，b=2，B=45°，求邊a的取值范圍.

分析 題目已知一角和對邊，求另一邊的范圍，故考慮用正弦定理求解.

解法一 由正弦定理得

解完題應該進一步反思，探求一題多解、多題一解的問題，開拓思路，溝通知識，掌握規律，權衡解法優劣，在更高層次更富有創造性地去學習、摸索、總結，使自己的解題能力更勝一籌.如上例題，再次分析一下題意，考慮試用余弦定理求解，見下.

解法二 由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，∵b=2，B=45°，∴22=a2+c2-2accos45°.

【軌跡定理】和已知線段的兩個端點的連線的夾角等于已知角的點的軌跡，是以已知線段為弦，所含圓周角等于已知角的兩段弧（端點除外）.

一題多解，每一種解法會用到不同章節的知識，這樣可以復習相關知識，掌握不同解題技巧，同時每一種解法又能解很多道題，然后比較眾多解法中哪一種最簡潔.把每一種解法和結論進一步推廣，既可實現知識的內在聯系、巧妙轉化和靈活運用，又可總結出一般方法和思路.善于總結，掌握規律，探求共性，再由共性指導我們去解決碰到的這類問題，這對提高解題能力尤其重要.

解題之后，要反復探究問題的知識結構和系統性.對問題蘊含的知識進行縱向深入地探究，加強知識的橫向聯系，把問題所蘊含孤立的知識“點”，擴展到系統的知識“面”.通過不斷地聯系、拓展，加強對知識的理解，進而形成認知結構中知識的系統性.要讓學生明白，問題之間不是孤立的，許多看似無關的問題卻有著內在的聯系，解題不能就題論題，要尋找問題與問題之間本質的聯系，要質疑為什么有這樣的問題，它和哪些問題有聯系，能否受這個問題的啟發.將一些重要的數學思想、數學方法進行有效的整合，創造性地設問，讓學生在不斷的知識聯系和知識整合中，豐富認知結構中的內容，體驗“創造”帶來的樂趣，這對培養學生的創造性思維是非常有利的.點滴的發現，能喚起學生的成就感，激發學生進一步探索問題的興趣.長期的積累，更有利于促進學生認知結構的個性特征的形成，并增加知識的存儲量.

總之，解題后引導學生對問題進行觀察分析、歸納類比、抽象概括，對問題中所蘊含的數學方法、數學思想進行反復思考并做出新的判斷，讓學生體會解題帶來的樂趣，享受探究帶來的成就感.逐步養成學生獨立思考、積極探究的習慣，并懂得如何學數學，這是學好數學的必要條件.