加邊三對(duì)角矩陣特征值及其應(yīng)用

【摘要】文章給出了加邊三對(duì)角矩陣的若干性質(zhì)， 利用矩陣的特征多項(xiàng)式， 討論了加邊三對(duì)角矩陣特征值和特征向量問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】加邊三對(duì)角矩陣；特征值；特征向量

引言

加邊三對(duì)角矩陣在圖像處理、隨機(jī)過(guò)程和數(shù)值分析等學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用[1]-[3]， 該類矩陣的有關(guān)研究一直受到人們的關(guān)注[4]， 本文考慮加邊三對(duì)角矩陣的特征值問(wèn)題， 并給出了一個(gè)例子.

定義1 n-階對(duì)稱矩陣形式如下：

和矩陣D=diag（λ1，λ2，…，λn-1）的特征值嚴(yán)格交替的充分必要條件是b2b3…bn≠0.

證明 充分性：因?yàn)閎2b3…bn≠0，由上述引理知Ρn和D的特征值是嚴(yán)格交替的.

必要性：若存在bi=0（2≤i≤n），那么我們可以得到μ=λi為Ρn的特征值，這與上述引理中λj（j=2，…，n）不是Ρn的特征值矛盾，故b2b3…bn≠0.

引理 給定n-1個(gè)實(shí)數(shù)λ1<λ2<…<λn-1和n個(gè)實(shí)數(shù)μ1<μ2<…<μn，可以得到個(gè)不同的形如矩陣Ρn∈Rn×n，其特征值為μ1<μ2<…<μn，并且滿足μ1<λ1<μ2<λ2<…<λn-1<μn.

加邊三對(duì)角矩陣的特征值：

引理2[6] （Perron定理）設(shè)A是一個(gè)n階非負(fù)不可約矩陣，則ρ（A）為A的單特征值， 并且其相應(yīng)的特征向量x>0，滿足Ax=ρ（A）x.

定理2 若加邊三對(duì)角矩陣Βn的元素bi>0 （i=1，2，…，n-1），μn為其最大特征值，那么存在實(shí)向量x，使得Βnx=μnx.

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