導數在高中數學中的應用

【摘要】導數把初等數學和高等數學緊密的結合，在整個學習過程中充當著紐帶、橋梁的作用.在教學解題過程中可以充分利用導數的思想來解決函數問題、切線問題、不等式問題以及實際中的應用問題.

【關鍵詞】導數；應用；高中數學

一、導數的概述

“新課標”在教程的目標、觀念上的一個發展就是在數學教學和數學學習中更加強調對數學本質的認識和理解.在“導數的應用”教學中，通過導數對函數的性質進行研究來認識函數的本質.高中數學由必修和選修組成，在所學課程中多處涉及導數方面的問題，足以看到導數在高中數學中占有很高的地位.

在高中學習過程中，學生通過學習函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等來理解函數的性質.而這些性質都可以通過畫出函數圖像表示出來.基本初等函數可用描點法畫函數圖像，而一些比較難的非基本初等函數無法用描點法繪制函數圖像.在這種情況下，我們可以用所掌握的導數知識來求一階導數，并利用其判定函數的單調區間、極值點、最值點，利用二階導數來判定函數的凹凸區間、拐點，然后利用極限的思想來找出水平漸近線和垂直漸近線，最后再利用描點法來畫出較為準確的函數圖像.這不僅僅能使學生更好地掌握所學的基本知識，同時擴展了數學思維.

讓學生們體會研究導數所用到的思想方法：先研究函數在某一點處的導數，再進一步過渡到一個區間上；在應用導數解決實際問題時，利用函數在某個區間上的性質來研究曲線在某一點處的性質.這種從局部到整體，再由整體回到局部的思想方法是非常值得學生學習的.

二、導數在解題過程中的應用

1.函數的單調性

函數的單調性是函數最基本的性質之一，是我們研究函數所要掌握的最基本的知識.它在中學數學中的用處是非常廣泛的.其思維方法有：（1）利用增（減）函數的定義判斷單調性.（2）導數法.利用在（a，b）內可導的函數f（x）在（a，b）上遞增（或遞減）的充要條件是f′（x）≥0（或f′（x）≤0），x∈（a，b）恒成立（但f′（x）在（a，b）的任意子區間內都不恒等于0）.方法（1）中的化簡較為煩瑣，比較適合解決抽象函數的單調性問題，而利用導數知識來判斷函數的單調性既快捷又容易掌握，特別是對于具體函數更加適用.

2.利用導數求極值和最值

最值和極值問題是高中數學的重點，也是一個難點.它涉及了高中數學知識的很多方面，要解決這類問題往往需要各種能力，同時需要選擇合理的解題途徑和策略.用導數解決這類問題可以使解題過程簡單化，步驟清晰，學生也更容易掌握.應注意函數的極值與最值的區別與聯系，極值是一個局部性概念，而最值是某個區間的整體性概念.

一般地，函數f（x）在閉區間[a，b]上可導，則f（x）在[a，b]上的最值求法：

（1）求函數f（x）在（a，b）上的極值點；

（2）計算f（x）在端點和極值點的函數值；

（3）比較f（x）在端點和極值點的函數值，最大的就是最大值，最小的就是最小值.

3.切線問題

在某一點的切線方程為y-f（x0）=f′（x0）（x-x0），但應注意點P（x0，f（x0））在曲線y=f（x）上，否則易錯.利用導數求切線問題一般可以分為兩類：過一點的切線方程和兩曲線切線方程.第一種題型分為點在曲線上和點在曲線外兩種情況，f′（x0）的幾何意義就是曲線在點P（x0，f（x0））處切線的斜率；而第二類用常規方法求解，運算量大，過程特別煩瑣，而利用導數知識就為解決這類問題提供了簡潔的方法，即先分別求出兩曲線的切線，利用它們是同一直線來建立關系求解.

4.證明不等式

縱觀這幾年高考，凡涉及不等式證明的問題，其思維量大、綜合性強，因此歷來是高考的難點.利用導數去證明不等式，就是利用不等式與函數之間的聯系，直接或者間接等價轉化后，結合不等式的結構特征，構造相應的函數.通過導數運算判斷出函數的單調性，將不等式的證明問題轉化為函數問題.

5.討論方程解的個數

在討論方程的根的存在性及個數問題上，導數是一個很好的工具，在這一類的問題上關鍵是將方程的問題轉化成函數的零點或者函數圖像交點問題，利用導數討論函數的性質并結合根的存在性定理及函數圖像來解決問題.

三、利用導數解決實際應用問題

導數不僅可以解決函數、切線、不等式問題，還可以解決一些實際應用問題.近年來，高考越來越關注對實際問題的考查.

生活中經常遇到求利潤最大、效率最高、費用最省等問題，這些問題通常稱為最優化問題，我們可以通過導數求函數最值的方法來解決這類問題.導數描述了一個函數的因變量相對于自變量變化的快慢程度，即因變量關于自變量的變化率.

利用導數解決生活中的優化問題的一般步驟：

（1）分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數學模型，寫出實際問題中變量之間的函數關系y=f（x），要注意x的范圍.

（2）利用導數求函數f（x）的極值和函數的最值，給出數學問題的解答.

（3）把數學問題的解答轉化為實際問題的答案.

導數及其應用是微積分學的重要組成部分，是解決許多問題的有力工具，它全面體現了數學的價值.既給學生提供了一種新的方法，又開闊了學生的視野，讓學生接觸到極限等新的數學方法和數學思想，對數學新的發展將會有進一步的了解.總而言之，導數的開設促進了學生全面認識數學的價值，而且發展了學生的辯證思維能力，也為將來進一步學好微積分打下基礎.因此，在高中階段為學生開設導數及其應用具有深刻的意義.