孿生素?cái)?shù)有無窮多證明

【摘要】本文通過錢德拉對(duì)稱矩陣的性質(zhì)和孿生素?cái)?shù)的分布情況進(jìn)行分析推理，最后推知若不存在無窮多組孿生素?cái)?shù)，則形如4n+1或形如4n-1的素?cái)?shù)只有有限個(gè)，得出矛盾，從而證明孿生素?cái)?shù)有無窮多.

【關(guān)鍵詞】素?cái)?shù)；孿生素?cái)?shù)；錢德拉篩子；包含

定義 相差為2的兩個(gè)素?cái)?shù)稱為孿生素?cái)?shù).

引理1 費(fèi)馬小定理：假如p素?cái)?shù)，且（a，p）=1，那么a^（p-1） ≡1（mod p）.即：假如p是質(zhì)數(shù)，且a，p互質(zhì)，那么a的（p-1）次方除以p的余數(shù)恒等于1.

引理2 如果正整數(shù)N出現(xiàn)在錢德拉篩子中則2N+1為合數(shù)，若不在，則2N+1為素?cái)?shù).

由引理2：如果正整數(shù)N出現(xiàn)在表一中則2N+1為合數(shù)，若不在表中，則2N+1為素?cái)?shù).

所有奇數(shù)（大于等于5）可以表示為：6n-1，6n+1，6n+3，（n≥1），而6n+3是3的倍數(shù)，不是素?cái)?shù).所以所有大于等于5的素?cái)?shù)必然在{6n-1}，{6n+1}這兩個(gè)數(shù)列上.

現(xiàn)在只需證明存在無窮多個(gè)n使6n-1，6n+1都為素?cái)?shù).

（6n-1-1）/2=3n-1，（6n+1-1）/2=3n.

則只需證明存在無窮多個(gè)n使3n-1，3n都不在表一中.

將表一中的數(shù)都加1得：

類似于表一有這樣的規(guī)律：如果正整數(shù)N出現(xiàn)在表格中則2N-1為合數(shù)，若不在表中，則2N-1為素?cái)?shù).

則只需證明存在無窮多個(gè)n，使3n不在表一且不在表二中.

假設(shè)只有有限個(gè)n，使3n不在兩表中，則存在一正整數(shù)M，兩表中的數(shù)包含所有大于M的3n，表一首行為3n+1，表二首行為3n+2，則兩表中的數(shù)包含所有大于M的自然數(shù).因?yàn)楸矶怯杀硪恢械臄?shù)加一得到的，因?yàn)閮杀碇械臄?shù)包含所有大于M的自然數(shù)，則存在正整數(shù)M1，M2使表一中的數(shù)包含所有大于M1奇數(shù)，或者表一中的數(shù)包含所有大與M2的偶數(shù).

【參考文獻(xiàn)】

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