交換環的素根

【摘要】本文主要介紹交換環上的素根，設R是一個交換環，關于環的根有兩種定義，一種是R的所有的極大理想的交，記為Rad（R）；另一種是R的所有素理想的交，記為rad（R），對于前一種定義交換代數上已有研究，本文主要研究的是后者.若對于Dedekind整環兩個概念是等價的，因為該環所有的素理想都是極大理想.

【關鍵詞】交換環；素根；素理想； 整環

【基金項目】安徽大學江淮學院院級科學研究項目資助（項目編號2011KJ0004）

1.引 言

設R是一個環，I，J是環R的理想，定義（I：J）={x∈R|xJI}，注意到（I：J）也是R的理想.環R的理想P成為素理想，如果P≠R，且滿足條件：a，b∈R，則有a∈P或b∈P.令T（R）={x∈R︱（0：R）≠0}，則T（R）是R的一個理想.

引理1 設R是一個環，I是R的理想，則I為素理想的充要條件是P=（I：R）也是R的素理想，并且T（R/I）=0

證明 由[4，定理1]立知.

推論1 設R是一個整環，滿足T（R）=R，則：

（ⅰ）若I為R的理想，且滿足T（I）=I，則I是R的素理想；

（ⅱ）P是R的極大理想，則PR=R或PR是R的素理想.

證明 有引理1可直接得出.

2.主要結果和證明

定理1 R是一個環，且dim（R）=1，則rad（R）=S∩{∩{PR：P是R的極大理想}，S滿足：T（S）=S.

證明 由推論1可知，rad（R）S∩{∩{PR：P是R的極大理想}，設I是R的素理想，令P=（I：R），由引理1可知，P是R的素理想，注意到PRR，若P=0，則有T（R/I）=0，由引理1知SI，即 S∩{∩{PR：P是R的極大理想}}I，由 I的任意性知 S∩{∩{PR：P是R的極大理想}rad（R）.

定理2 設R是一個環， I是R的理想，則有rad ′（I）rad（R）（rad ′（I）的定義為被包含的所有素理想的交與rad（R）定義一致）.

證明 設P是R的一個素理想，若IP，則rad（I）P.若IP，則容易驗證I∩P是R的素理想，所以rad ′（I）I∩PP，所以rad ′（I）P，

rad ′（I）rad（R）.

定理3 設R是一個Noether整環，且維數為1，則rad（R）=∪rad ′（I），I是R的有限生成理想.

證明 由定理2 rad ′（I）rad（R），所以∪rad ′（I）rad（R）.

下證：rad（R）rad ′（I）.

定義1（[2]） I是R的理想，若I滿足如下條件，則稱I是R的半素理想：x∈R，xRxI，則x∈I.

下面給出關于根的規則的一個重要定理.

定理6 設R是一個環，則下面兩個條件等價：

（ⅰ）R滿足根的規則；

（ⅱ）每個半素理想都是R的素理想的交，并且W（R/W（R））=0.

證明

（ⅰ）（ⅱ）

設I是R的半素理想，則W（R/I），有（ⅰ）rad（R/I）=0，所以I是R的素理想的交，另一方面rad（R）=W（R）意味著W（R）是半素理想，從而W（R/W（R））=0；

（ⅱ） （ⅰ）由于W（R/W（R））=0，W（R）是半素的，所以rad（R）=W（R），R滿足根的規則.

【參考文獻】

[1]Roy L.McCasland， Patrick F.Smith.Zariski spaces of modules over arbitrary rings[J].Communication in Algebra，2006， 34（5）：3961-3973.

[2] A.W.Goldie.Semiprime rings with maximum condition， Proc.London Math.soc，10（1960），201-220.

[3]Anderson F.W.and Fuller K.R.Rings and Categories of Modules[M].New York ：Springer 2 Verlag，1974.

[4] Lu C.P.Prime submodules of modules，Comm.Math.Uni.sancti pauli 33（1984），61-69.