例說可行域的判定方法

線性規劃問題中的可行域就是二元一次不等式（組）表示的平面區域，它的判定是解決線性規劃問題的基礎.下面說說它的判定方法.

1.取點定域法

教材中介紹了二元一次不等式表示平面區域的一種畫法，其要點是“以線定界，取點定域”，

前半句指需要注意實線與虛線的確定，后半句則說明只需取不在直線上的特殊點檢驗即可，常常取（0，0），（1，0），（0，1）等點，不妨將其稱之為“取點定域法”.“取點定域法”的基本方法是：①畫直線→②取特殊點→③代值定域→④求公共部分.

①畫直線——作出各不等式對應方程表示的直線（原不等式帶等號的作實線，否則作虛線）；

②取特殊點——平面直角坐標系內的直線要么過原點，要么不過原點：當直線過原點時我們選

取特殊點（x，0）或（0，y）（坐標軸上的點），當直線不過原點時我們選取原點（0，0）作特殊點；

③代值定域——將選取的特殊點代入所給不等式：如果不等式成立，則不等式所表示的平面區域就是該特殊點所在的區域；如果不等式不成立，則不等式所表示的平面區域就是該特殊點所在區域的另一邊.

④求公共部分——不等式組所確定的平面區域，是各個二元一次不等式所表示平面區域的公共部分.

②取特殊點：直線x-y=0過原點，可取特殊點（0，1）；直線x+2y=4不過原點，可取特殊點（0，0）.

③將（0，1）代入，即0-1=-1<0，不等式x-y>0不成立，直線另一側區域就是不等式x-y>0所表示的平面區域；將（0，0）代入，即0+2×0=0<4，不等式x+2y<4成立，則原點所在區域就是不等式x+2y<4所表示的平面區域.（圖1）

④求公共部分：如圖2所示公共部分就是不等式組所表示的平面區域.

2.符號定域法

在具體解題中，我們還可用另一種更簡潔的方法，姑且稱之為“符號定域法”.請看下表：

大家不難看出：x（y）的系數A（B）的符號與Ax+By+C的符號相同時，不等式所表區域在直線的右（上）方，符號不同時，不等式所表區域在直線的左（下）方，那么，在平面直角坐標系中，結合x軸、 y軸的正負方向，就可把符號定域法的要點解讀為“同號正方，異號負方”.

總之，直線Ax+By+C=0（A，B不同時為0）含有兩個未知數，于是我們可以將未知數的系數分為兩類：x項系數與y項系數來研究.

（1）y項系數化正法：顧名思義就是利用不等式性質，不等號兩邊同時×（-1）（移項）將y項系數化為正值，然后根據變形后關于y的不等式中的不等號來確定區域位置（規定：y軸正方向所指的區域為直線的上方；反之為下方），有結論：y項系數正值化，f（y）>（≥）上，f（y）<（≤）下.

③關于y的不等式（>）即-2x+y-2>0（或者2x+2

④然后求的公共部分就是不等式組所表示的平面區域.

（2）x項系數化正法：同（1）一樣，不等號兩邊同時×（-1）（或移項）將x項系數化為正值，然后根據變形后關于x的不等式中的不等號來確定區域位置（規定：x軸正方向所指的區域為直線的右方；反之為左方），有結論：x項系數正值化，f（x）>（≥）右，f（x）<（≤）左.

上述方法中，方法一是尋找二元一次不等式所表示的平面區域的常規方法，思維回路較長，適合對理論的學習；但要快速準確地解決簡單的線性規劃問題就必須掌握方法二.