在排列組合教學中發展學生的抽象思維能力和邏輯思維能力

【摘要】排列組合在中學數學教學內容中具有相對的獨立性，是一種思維方式較為獨特的教學內容，在教學中可以很好地培養學生有程序地思考問題的習慣，體會反向思維、歸納、轉化、分類等數學思想，認識數學與日常生活的緊密聯系，敢于大膽猜測猜想.

【關鍵詞】有程序地思考問題；反向思維；歸納、轉化、分類、類比等數學思想；大膽猜測猜想；數學與生活的緊密聯系

排列組合這部分內容較之中學數學的其他內容更具有抽象性，研究的是計數問題.這部分內容概念性質公式都不多，但這些概念性質公式的靈活應用都需要有較高的抽象思維能力.這就是說排列組合知識對發展學生的思維能力是一個很好的機會.

一、培養學生有程序地思考問題

在排列組合這部分內容中，所有的題目都包含著一種重要的數學思想，就是有程序地思考問題，久而久之，會對學生產生一種積極的促進作用，在思考問題和辦事情時，養成一種按程序來思考，按程序來辦事的習慣.所以我們教師應該抓住教材的這種思想讓學生逐步養成這種良好的習慣.

例1 某城市的電話號碼由8位數字組成，其中從左邊算起的第1位只用6或8，其余7位可以從前10個自然數0，1，…，9中任意選取.允許數字重復.試問：該城市最多可裝電話多少門？

解 裝一門電話需要指定一個電話號碼.由于第1位只用6或8，因此電話號碼可以分為兩類：第1位用6的是第一類，第1位用8的是第二類.

第一類電話號碼還剩下7位.此時指定一個電話號碼可以分成7步來完成：第一步確定第2位數字，這有10種取法；對于這每一種取法，第二步確定第3位的數字，這有10種取法（因為允許數字重復）：對于第一、二步已取好的每一對數字，第三步確定第4位數字，又有10種取法……對于第一步至第六步已取好的每一組數字，第七步確定第8位的數字，又有10種取法.因此第一類電話號碼共有

10×10×10×10×10×10×10=107（個）.

同理，第二類電話號碼也有107個.

根據分類計數原理，該城市所用的電話號碼一共有107+107=2×107，從而最多可裝電話2×107，即兩千萬門.

從例1看到，有些計數問題既要用分類計數原理，又要用分步計數原理.通常是先把計數的對象分類，然后對每一類里的對象用分步計數原理.

例2 排列數公式的推導.

從n個不同元素中取出m（m≤n）個不同元素的一個排列，可以分成m步來完成：

第一步，確定第一個位置的元素，這有n種取法；對于這一種取法，第二步，確定第二個位置的元素，這時剩下n-1個元素，因此有n-1種取法；對于第一、二個位置已經選好的每一對元素，第三步，確定第三個位置的元素，這時剩下n-2個元素，因此有n-2種取法……對于第一個至第m-1個位置已經選好的每一組元素，第m步，確定第m個位置的元素，這時剩下n-（m-1）個元素，因此有n-m+1種取法.根據分步計數原理得到，從n個不同元素中取出m（m≤n）個不同元素的所有排列的個數Pmn為：

Pmn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1），（m≤n）

此公式稱為排列數公式.右端是m個連續正整數的乘積，最大的因數是n，最小因數是n-m+1.

二、體會反向思維的方法

正難則反是我們思考問題和解決問題所采取的一種策略，好多事情和問題按常規來思考或按常規來辦時很繁或很難時，我們可以采取間接的辦法來思考來解決，反向思維是一種行之有效的方法.排列組合這部分內容就驗證了這一點.

例1 組合數公式的推導.

為了求Cmn，其中m≤n，我們用兩種不同的方法來計算Pmn：

方法1 前面已經知道

Pmn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1），（m≤n）.

方法2 從n個不同元素中取出m個不同元素的一個排列，可以分兩步來完成：第一步，從這n個元素中取出m個元素組成一組，這有Cmn種取法；對于這每一種取法，第二步，把這一組的m個元素按一定次序排成一列，這有Pmn=m！種取法.根據分步計數原理得到，從n個不同元素中取出m個不同元素的所有排列的個數為Pmn=Cmn·m！.

三、體會分類、歸納、類比、轉化等數學思想

1.分類思想

例1 在產品檢驗時，常常從產品中抽出一部分檢查.現從100件產品中任意抽出3件進行檢查.如果這100件產品中有5件次品，其余是合格品.

（1）抽出的3件中最多有1件次品的抽法有多少種？

（2）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種？

解 （1）抽出的3件中最多有1件次品的抽法可以分成兩類：第一類抽法沒有次品，即3件都是合格品，這有C395種抽法；第二類抽法恰好有1件次品，有C15C295 種抽法.根據分類計數原理，抽出的3件中最多有1件次品的抽法的數目為C395+C15C295=160740（種）.

（2）從100件產品中抽出3件的抽法的總數為C3100，其中抽出的3件都是合格品的數目為C395.因此抽出的3件中至少有1件次品的抽法的數目為

C3100-C395=23285（種）.

2.歸納思想

例2 如排列數公式、組合數性質和二項式定理等的推導都用到了歸納思想.

3.類比思想

如何區分哪類問題是排列問題，哪類問題是組合問題？排列與組合的區別與聯系？就要用到類比思想.

排列與組合的區別是：從n個不同元素取出m（m≤n）個元素的一個組合，不去區分取出的m個元素的次序，把這m個元素看成一組；而從n個不同元素取出m（m≤n）個不同元素的一個排列，要區分這m個元素的次序.關系：Pmn=Cmn·Pmm.

4.化歸思想

如二項式定理通項的應用：求二項式展開式的某一項、某一項的系數、常數項、最大項、最小項都要用到二項式定理的通項.

例3 求（x-2）10的展開式中x6的系數.

解 （x-2）10的展開式的通項是

Ck10x10-k（-2）k=（-1）k2k Ck10x10-k.

于是x6的系數是

（-1）4 24C410=16×

四、體會數學與日常生活的緊密聯系

數學不僅僅是抽象的，實際上它與我們日常生活緊密聯系，它有著廣泛的應用.讓學生體會到數學其實離我們很近和我們日常生活密不可分.從而增強學生學習數學的興趣，認識到學習數學的重要性.排列組合中許多問題都與生活有關.例如電話號碼、車牌號、身份證號碼、彩票、體育比賽都與排列組合有關.

例1 某班級有50名學生，下星期六要去郊游，不強迫每同學都去，共有多少種不同的情況？

解 共有C050+C150+C250+…+C5050 =250（種）不同的情況.

例2 在二項式定理中，我們可以大膽猜想n是否可以推廣到負整數、有理數，甚至推廣到實數.實際上，數學家已經做了這件事情，而且是可以做到的，但對學生來說卻是一種創造，一種發現.

總之，排列組合是中學數學教材中相對獨立又相對獨特的內容，其內容比其他教材內容更具抽象性，但其蘊含著豐富的數學思想，我們正好可以利用這一點充分發揮教材的教育功能，充分發揮教材的作用，不失時機地培養學生的抽象思維能力和邏輯思維能力，提高學生的數學素養.

【參考文獻】

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