對單點弦截法迭代公式收斂性定理的推廣

【摘要】單點弦截法迭代公式收斂性定理的條件較強，影響了人們對該公式的使用，本文通過研究廣義凸函數在開區間上的連續性，將求實根近似值的單點弦截法迭代公式收斂性定理從二階可導函數推廣到了一般的凸函數，從而降低了定理的條件.

【關鍵詞】弦截法；凸函數；迭代公式

【中圖分類號】O241.7 【文獻標識碼】A

【基金項目】遵義師院教研課題：“初等數論”指導高中專題“初等數論初步”教學研究 編號：11-22

一、引 言

弦截法又叫單點割線法、弦位法、正割法、弦割法等，如果實函數f（x）在區間[a，b]上連續，且f（a）f（b）<0，則f（x）在區間[a，b]上至少有一個實根.在此區間上用曲線f（x）的弦逼近函數y=f（x），弦截法的思想是用曲線y=f（x）的弦與x軸的交點的橫坐標作為方程f（x）=0的近似根[1].弦截法分為單點弦截法與兩點弦截法兩種.單點弦截法是在一定條件下，使用經過同一點的弦來不斷逼近f（x），單點弦截法的迭代公式為[2]

目前，關于這個迭代公式的收斂性定理為：

設函數f（x）在區間[a，b]上存在二階導數，且滿足條件：

1° f（a）f（b）<0；

2° f′（x）≠0，x∈[a，b]；

3° f″（x）在[a，b]上不變號；

4° x0是a，b中滿足條件f（x0）f″（x0）>0的一個，x1為另一個時，則由單點弦截法產生的迭代序列{xn}單調收斂于方程f（x）=0在[a，b]上的唯一根，且是線性收斂的.

我們經過研究后發現，這個收斂性定理的條件太強，至少可以刪去條件2°.

二、對凸函數的說明

關于凸函數，各本書上的定義不盡相同，華東師范大學數學系編的《數學分析》中，有前提“y=f（x）在（a，b）內可導”，而人們對凸函數最廣泛的定義是：

【參考文獻】

[1]張德榮，王新民，高安民.計算方法與算法語言[M].北京：高等教育出版社，1981：70.

[2]關治，陸金甫.數值分析基礎[M].北京：高等教育出版社，1998：348.

[3]張世祿等編.計算方法（第一版）[M].成都：電子科技大學出版社，1999：97.

[4]劉玉璉，傅沛仁，林玎，苑德馨，劉寧.數學分析講義[M].北京：高等教育出版社，2003：257.