絕對(duì)值與函數(shù)組合問題淺析

函數(shù)問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，以其深刻而豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，靈活多變的解題技巧成為考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力的常見載體，在歷年高考命題中占有舉足輕重的地位.而絕對(duì)值問題與生俱來所具備的代數(shù)、幾何背景使其經(jīng)常與函數(shù)進(jìn)行組合命題是考查函數(shù)問題的一個(gè)重要的組成部分.在處理絕對(duì)值與函數(shù)的組合題時(shí)我們往往以解決絕對(duì)值為突破口.根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)、幾何屬性大致可將其處理方式劃分為如下幾種：（1）代數(shù)方法：直接平方，利用解絕對(duì)值不等式的常見結(jié)論；（2）幾何方法：將函數(shù)圖形沿橫軸進(jìn)行向上翻折；（3）混合法：討論，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)問題再加以解決.

一、直接平方處理絕對(duì)值問題

采用直接平方的運(yùn)算將不可避免地使解析式變得更為復(fù)雜，因而采用這種方法需要學(xué)生具備一定的對(duì)運(yùn)算的預(yù)期與控制的能力.解題時(shí)切忌不管不顧平方了事，也不能畏首畏尾而錯(cuò)失良機(jī).例如在處理平面內(nèi)的點(diǎn)到直線的距離問題時(shí)，由于公式所帶有的絕對(duì)值與根式的形式，平方運(yùn)算不失為一舉兩得的一種手段.反之，當(dāng)處理絕對(duì)值不等式時(shí)平方則是有著一定局限的一種方法.

三、利用圖形翻折處理絕對(duì)值問題

圖形的翻折就本質(zhì)而言其來源于分段函數(shù)圖像的畫法，但當(dāng)翻折對(duì)象較為清晰明確時(shí)由于壓縮了中間環(huán)節(jié)，使解題更為緊湊簡潔.采用該種方法要求學(xué)生對(duì)于函數(shù)圖形有較強(qiáng)的控制能力.我們所遇到的函數(shù)圖形大致可分為兩類：（1）精確圖形，特指所有的初等基本函數(shù)，包括對(duì)勾函數(shù)與三角函數(shù)，以及經(jīng)過平移、對(duì)稱、翻折所得到的函數(shù)圖形.（2）草圖，特指需通過定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性加以描述的函數(shù).這也是必修1函數(shù)教程安排的奧秘：授之以漁，給了我們研究函數(shù)的方向和工具，在必修4中更是以三角函數(shù)為范本，完整地演示了一個(gè)函數(shù)的成長史.明白了這一點(diǎn)你還會(huì)為題目冗長的敘述望而生畏嗎？它是在描述啊！冗長的另一個(gè)解釋——詳細(xì)！還會(huì)為各種陌生的函數(shù)而頭疼嗎？研究一個(gè)現(xiàn)在看來并不太難的三角函數(shù)要用半本書，高考兩個(gè)小時(shí)內(nèi)你所面對(duì)的函數(shù)只能是淺嘗輒止.至于零點(diǎn)，其本質(zhì)是為了描點(diǎn)是使圖形更精確.不要迷信求導(dǎo)，求導(dǎo)不描點(diǎn)到頭一場(chǎng)空.除了勤快沒有其他辦法能彌補(bǔ)草圖的先天不足.

絕對(duì)值問題僅是函數(shù)眾多問題的冰山一角，它未必是最簡單的，但一定不是最為復(fù)雜的.因?yàn)榻^對(duì)值符號(hào)的存在使其特征鮮明.看得到的問題往往能對(duì)癥下藥，看不到的問題更需要在教學(xué)和學(xué)習(xí)中不斷地探索、歸納、提升.謹(jǐn)以此文與讀者共勉，不足之處敬請(qǐng)指正.