淺嘗二次函數與圖形旋轉的題組設計

【中圖分類號】G633.62【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）12-0154-01

函數是代數的重要內容，也是一種重要的數學思想。二次函數在初中數學中占據重要位置，新人教版2014年教材又將二次函數一章內容前移，使它成為學生接觸到的第一個曲線函數。二次函數的圖像和性質更復雜，計算量更大，加之與方程、代數式、幾何圖形、幾何變換相結合又產生了大量的綜合題。在各地中考中一向穩占壓軸的位置。解決這種問題需要對學生進行大量的訓練。

《課程標準》中提出：“基本技能的形成，需要一定量的訓練，但要適度，不能依賴機械的重復操作。要注重訓練的實效性。”所以題海戰術是不可取的。初中學生的認知能力和邏輯思考能力都比較不成熟，針對這一現象，我在課堂教學實踐中，開始嘗試使用題組的形式。即把具有相同的知識核心，基本結構相近，解決策略類似的問題有機地組合在一起，編制成題組進行講學，初步嘗試，取得了較好的效果。

下面是《二次函數與圖形的旋轉》的題組設計及設計意圖。

本課我設計了兩個遞進的題組，一是二次函數與旋轉型全等的結合，一是二次函數與旋轉型相似的結合。

題組一：如圖：點A（4，0），B（3，3）、作BC⊥AB交y軸于點C

（1）求線段BC的長度及點C坐標。

設計意圖：

（1）由點的坐標求線段長，學生較容易由坐標條件作出垂線段BM、BN，完成由數到形的轉換，得到全等三角形BMA和BNC。并且發現它們處于旋轉的位置關系上。

向前追尋旋轉形成的原因：∠ABC和∠MBN有公共端點，且夾角相等，構成旋轉中的旋轉中心及兩對對應邊，當第三對互相垂直的線即X、Y軸出現時，就滿足了旋轉型全等的所有條件，至此完成了幾何問題的分析。

（2）如圖，若D點坐標為（-2，0）求過A、B、D三點的拋物線解析式。

設計意圖：

（2）增加了D點，與A、B構成不共線的三點，從而確定一條拋物線，從無到有，讓學生清楚地感受到幾何題目與拋物線是如何疊加的，減少學生在審題上的障礙和心理上的排斥感。

（3）如圖，將∠ABC繞點B順時針旋轉后角的兩邊分別與x軸、 y軸相交于點E、F，當BF經過拋物線與y軸的交點時，求多種方法求E點坐標。

設計意圖：

（3）在（2）的基礎上增加了角的運動，∠ABC繞點B順時針旋轉，但拋物線沒有變，它與y軸的交點是固定的，所以是可求的定點，當BF經過這一點時，運動問題就轉化為靜止的問題了。此時核心的知識點沒有變，仍然可以用（2）中的方法找到旋轉型的一對全等三角形為△BAM和△BNC。從而得到線段AM和CN的相等關系，并由A點坐標推出E點坐標。更加快捷的方法也可以由這一核心知識得到，△BCF和△BEA全等，進一步得CF與AE相等，再由A點坐標得出E點坐標。

（4）如圖，BF能否經過拋物線的頂點？若能，求出此時點E的坐標，若不能，說明理由。

設計意圖：

承接（3），∠ABC繞點B繼續順時針旋轉，拋物線仍然不動，其頂點固定可求，這一步在實際授課時可將∠EBF隱去，讓學生動手操作，體會BF與拋物線的相交關系，并經歷讓BF旋轉到拋物線頂點的過程，在過程中領悟到旋轉型全等三角形的存在性和變化性。

經過（1）至（4）由單一圖形到組合圖形，由靜到動，學生將充分體會到拋物線與幾何圖形組合的關鍵所在：其實考代數幾何綜合題，本質上仍然是在考幾何問題，拋物線的加入只是一個包裝，它為幾何圖形提供一些固定點或線或運動的軌跡。掌握了這個一般規律，類似的問題就變得更容易看透和容易下手了。

題組二：如圖：點A（4，0），B（3，2）、作BC⊥AB交y軸于點C。

（1）求線段BC的長度及點C坐標。

（2）若D點坐標為（-1，0）求過A、B、D三點的拋物線解析式。

（3）將∠ABC繞點B順時針旋轉后角的兩邊分別與x軸、y軸相交于 點E、F.當BF經過拋物線與y軸的交點時，求多種方法求E點坐標。

（4）BF能否經過拋物線的頂點？若能，求出此時點E的坐標，若不能，說明理由。

設計意圖：

題組二是題組一的一般化，將拋物線與旋轉型的相似相結合，在思想和方法上可以類比題組一，有利于核心知識方法的深化理解和知識的正向遷移。在題組二中拋物線和旋轉的圖形不給出，因為有了題組一的經驗，學生將具備自行畫出的能力。

題組教學符合學生的認知規律，在教授難度較大或較為復雜的題目時，可根據題目內在聯系，進行縱向拆解，或橫向聯合，由淺入深，由表及里，由簡到難，或在同一層次進行平行或加深的題組練習。編制題組，不失為數學教學的一種有效手段。