復變函數論中解析函數教學的探討分析

【摘要】結合作者的教學實踐經驗，探討了復變函數論中解析函數的教學方法。

【關鍵詞】解析函數 可導性 柯西-黎曼方程

【基金項目】南京工程學院科學研究基金項目（項目編號YKJ201115）。

【中圖分類號】O174【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）12-0146-01

復變函數是高等數學的后續課程。復變函數中的很多概念，定理和方法是高等數學中的實變函數在復數范圍作的推廣。而復變函數的理論和方法在自然科學和工程技術中有著很廣泛的應用，是解決力學、電磁學、熱學等理論中問題的有力工具。

解析函數是復變函數理論的主要研究對象，而解析性是復變函數理論中最基本，最主要的性質之一。解析函數是高等數學中可導函數在復數域作的推廣與延伸。本人近幾年一直在承擔電氣工程及自動化專業、電子信息工程專業及通信工程專業等相關專業《復變函數》課程的教學任務，結合教學實踐，一方面，這些專業的學生認真聽講的同學比較多，但課堂上仍然存在著是你教我學，你講我聽的傳統模式，課后對知識的鞏固練習不重視，導致解題能力變差。另一方面，在課程安排上，解析函數貫穿于求解復變函數的積分，泰勒級數，洛朗級數的展開式以及留數定理的教學中?；诖?，能總結出一套行之有效的教學方法，對教學活動的實施尤為重要。

1.復變函數的導數與微分

1.1運用類比方法，啟發式教學

2.解析函數的概念及充要條件

（1）對于解析函數的概念，首先應用圖形說明在z0點解析跟在z0可導的差別。這個時候一定要強調在z0點解析包括在z0及z0的某個鄰域內可導，特別要強調在以z0為心，某個δ為半徑的圓內可導，同時注意觀察學生，直至他們完全理解。根據定義，馬上讓學生判斷以下三個命題：函數在某點解析必可導；逆否命題：函數在某點不可導必為奇點；函數在某點可導必解析。

（2）由點及面。函數在區域D內解析與可導是等價的。函數在區域D內不解析與不可導也是等價的。因為區域D是個開集，其中的點都是內點。而內點能保證內點的某鄰域也在D內。區域內每點可導意味著每點解析。這樣一來，學生就完全理解清楚在點解析與在區域解析的區別了。剩余的內容學習起來就容易很多。

（3）利用柯西-黎曼條件判斷解析。函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區域D內解析的充要條件是u（x，y）與v（x，y）在D內可微，并且滿足柯西-黎曼方程。充要條件除了能判斷函數在何處可導，何處解析外，我還跟學生講解了以下例題：

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