統計的“對”與“錯”

摘要：本文討論了應用假設檢驗做統計推斷時，檢驗結果與原假設形式是否有關的問題。通過對具體實際問題的分析，解釋了原假設和備擇假設交換后產生不同結果這一類問題發生的原因，并給出問題的解決辦法。

關鍵詞：假設檢驗 兩類錯誤 原假設 備擇假設

一、提出問題

考察某魚塘中魚的含汞量，魚塘的主人稱含汞量不會超過1.2mg，現隨機地取10條測得各條魚的含汞量（單位：mg）為0.8 1.6 0.9 0.8 1.2 0.4 0.7 1.0 1.2 1.1 設魚的含汞量服從正態分布N（μ，σ^2），（α=0.01）根據這些數據是否有充分的理由相信魚塘主人的說法？

依題意知：x ?=0.97，s=0.3302

（1）若檢驗統計量的觀測值落在接受域的交集之外，則必有一個接受原假設，另一個拒絕原假設又由于A、B選擇的原假設不同，所以結論是一致的。

（2）若檢驗統計量的觀測值落在接受域的交集之內，則A、B都接受原假設，由于A、B選擇的原假設不同，所以結論完全不同。

在數學上，我們不可以用一個例子來證明一個結論，同理，在統計推斷中，我們不能用一個例子來證明一個假設是成立的，但是可以用一個例子來推翻一個假設。也就是說，如果有一個不拒絕原假設的結論，只能說明樣本與原假設之間沒有矛盾，而不能說原假設就應該被接受，這種情況下，接受原假設不是很有說服力，然而，得到了一個拒絕原假設的結論，則有充分的理由說明原假設不成立。

三、解決問題

假設檢驗的原則是小概率事件發生的可能性很小，但并不代表小概率事件一定不會發生，由于樣本的隨機性，因而假設檢驗的結果就可能犯兩類錯誤。第一類：原假設成立，但被拒絕，即“棄真”，第二類：原假設不正確，但被接受，即“采偽”。自然的，我們希望犯兩類錯誤的概率都很小，但是當容量n一致時，α的減少，會使β增大，反之，β的減少，也會使α增大。正是因為這兩類錯誤的存在，使得我們對假設檢驗所得出的結論，并不能絕對百分百地肯定。

在原假設和備擇假設的選取時，Neyman-Parson提出了一個原則，即在控制犯第一類錯誤的概率α之下，盡量使犯第二類錯誤的概率減小。

上述例子中，犯第一類錯誤的概率已知得到控制，所以例子中的矛盾有可能是犯了第二類錯誤，因此應該想辦法減少犯第二類錯誤的概率，有兩種方法：

（1）一種方法是增大犯第一類錯誤α的概率來減小β，如選取α=0.10時。

由t

這樣，通過增大樣本容量n，得到了一致的論斷。

四、結論

通過以上論述，可以得到以下結論：

1） 在假設檢驗中，原假設與備擇假設地位不對等，不能隨意對換。

2） 在假設檢驗中，拒絕原假設比被迫接受原假設的結果更可靠。

3） 增大棄真錯誤或適當的增大樣本容量，再抽樣觀測進行檢驗，然后再決定是否接受原假設。

參考文獻：

[1] 陳希孺.概率論與數理統計[M].北京：科學出版社，2002

[2] 蘇再興 王志福.假設檢驗中原假設與備擇假設的關系[M].科技信息，2010

[3] 李曉紅.假設檢驗中原假設的選取問題[M].平原大學學報，2006年12月