利用基本不等式求最值的易錯點分析

【摘要】分析利用基本不等式求解最值問題時容易發生的錯誤，幫助學生學會求解這類題目，掌握這方面的知識。

【關鍵詞】基本不等式最值解答易錯點

【中圖分類號】G【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）05B-0118-02

基本不等式是近幾年高考熱點考查內容，尤其與函數、三角、數列、圓錐曲線等知識進行交匯命題，多以選擇題、填空題形式出現，幾乎是每年高考必考內容之一，主要考查函數值大小判斷、求最值、求參數取值范圍等，重在檢驗學生運用均值不等式求最值的能力，應用較為廣泛。現結合近幾年來的高考備考指導情況，利用實例將基本不等式求最值的易錯點作如下分析。

一、均值不等式的兩種基本形式

1．平方式。對于任意實數a，b均有a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時，等號成立）。

2．一次式。若a，b∈R+，則（當且僅當a=b時，等號成立）。

常見變式：（1），，對于不等式還有更一般的表達式：（當且僅當a=b時，等號成立）。

（2）若a，b同號，則（當且僅當a=b時，等號成立）。

（3）若x＞0，則（當且僅當x=1時，等號成立），更一般的結論（當且僅當x±1時，等號成立）。

二、易錯點分析

（一）易錯點之一：忽略“正數”的條件

例1已知，求函數的值域。

錯解：

。

當且僅當，即時，等號成立，即所求值域為。

【錯因剖析】解題時沒有考慮到，忽略了“正數”這一條件，故不能直接用基本不等式求值域。

正解：

設tanx=m，當m＞0時，則有

。

當且僅當，即時，等號成立。

當m＜0時，即x∈（-，0）時，y=。

當且僅當時，即時，等號成立。

故所求函數的值域為。

〖提醒〗在利用基本不等式求函數最值時，要注意其前提是各數均為正數。當各數均為負數時，要先變換為正數后（即兩邊同時乘以－1），才利用基本不等式解決；若不能確定各數（或式子）的正負時，則要對其進行分類討論，分類時應注意分類的標準，做到不重不漏。

（二）易錯點之二：忽略“定值”的條件

例2已知，求函數的最大值。

錯解：

，

當且僅當，即，有最大值。

【錯因剖析】“ab ”不是一個定值（常數），而是一個變量，忽略了“定值”這一條件導致錯誤。

正解：∵，∴，

∴，

當且僅當，即時，等號成立。

故函數的最大值為。

例3已知，求的最小值。

錯解：∵b＞0，a＋b＝2，

∴，當且僅當，即

時，有最小值為。

【錯因剖析】在中，左邊兩項和并不是定值，而是一個變量，故出錯。

正解：∵b＞0，a＋b＝2，

∴

當且僅當a＜0且時，即時，有最小值為。

例4已知，求的最小值。

解：∵

∴且。（注：合理拆分項拼湊，利用基本不等式將“ab型”放縮為“型”的代數式來求解）

由，當且僅當時，即時，等號成立。

∴。

又∵（定值），

∴，

當且僅當時，即時，等號成立，此時。

∴的最小值為16。

〖提醒〗利用不等式，求最值時，當 ab為定值時，a+b取得最小值為；當a+b為定值時，ab 取得最大值為。但要注意到當ab或a+b不為定值時，不等式仍然成立，此時利用“a=b”這一條件計算或就不一定是最值了。故這個“二定”條件是解題的關鍵。當這一條件不具備時，應創造條件，通過配方或合理拆分等方法拼湊成基本不等式的形式，當湊出和為定值（利用乘除系數、對函數平方等）或積為定值（利用加減常數、分式裂項、重組各項等）時就可求得最大值或最小值。

（三）易錯點之三：忽略“等號成立”的條件

例4已知，且x+y=1，求的最小值。

錯解：∵，

∴。

∴。

即所求最小值為。

【錯因剖析】當時，中“＝”成立，但它并不能使得成立，故此解法不正確。

正解：∵，且x+y=1。

）（，當且僅當即時，等號成立。所以的最小值為。

〖提醒〗利用基本不等式求函數最值時一定要注意驗證等號是否成立，當連續多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且注意取等號的條件的一致性。所以在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，也是檢驗轉換時是否有誤的一種方法。

總之，運用基本不等式求函數的最值時要注意“一正二定三相等”的條件，缺一不可。這三個條件是有序的，少了“一正”，就失去了利用均值定理的前提條件；少了“二定”，求出的就不是一個常數，而是一個變量；少了“三相等”，求出的最值就失去了基礎，成了所謂的“空中樓閣”。所以在解答時必須逐一檢查這三個條件是否都已具備，否則容易出錯。

（責編盧建龍）