幾何中的分類討論解題研究

分類討論法是一種比較重要的解題方法，也是近年來中考命題的熱點內容之一。在這里筆者對常見的幾種解題方法進行歸納。

一、幾何圖形的高

方法一：由于三角形的高可在三角形的內部、外部或與邊重合，所以在解決問題時常常將三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。

例1.為了美化環境，計劃在小區內用120m的草皮鋪設一塊一邊長為20的等腰三角形綠地，請求出這個三角形的另兩條邊長。

分析：由題中已知一邊長20m的等腰三角形，可分為底邊長為20m或腰長為20m兩種情況，如圖1由底邊長為20m和面積為120m可求得底邊上的高為12m，進而求得兩腰長都為2m，由腰長為20m和面積為120m分析時難度較大，需考慮將三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，直角三角形的情況不成立，可分別得到圖2和圖3兩種情況。

[圖1 圖2 圖3]

方法二：比例尺畫圖法

例2.小剛玩拼圖游戲，所拼成的圖形是一個三角形，量得兩邊長分別為20cm、25cm，第三邊上的高為15cm，請你幫助他計算這個圖形的面積。

在教學中，筆者不僅要求學生掌握這種分類方法，同時還要求學生按條件用比例尺畫圖，并深入思考畫圖的步驟，使學生不僅從表面上明白畫兩種情況的圖形，還能分析出為什么要畫兩種情況，讓學生思考可否先畫一條直線上的高長為15 cm，然后用刻度尺在高的同側及異側畫出長度為20cm和25 cm的線段，這樣的圖形準確無誤，更利于學生進一步思考。

二、截圖問題

題型相對簡單，考查知識點為相似三角形的性質及相似三角形對應高的比等于相似比等。常見題型有：

1.直角三角內截等邊三角形

例4.在△ABC中，∠C=90°，BC=15，AC=20，以C為頂點，作一個等邊三角形，其他兩個頂點在△ABC的邊上，求這個等邊三角形的邊長。

2.直角三角形內截正方形

例5.在△ABC中，∠C=90°，BC=15，AC=20，作一個正方形，使它的四個頂點都上三角形的邊上，求正方形的邊長。

3.直角三角形內截矩形

例6.為了節省資金，小明的爺爺將一塊兩直角邊長分別為30cm和40cm的直角三角形廢鏡片割成一塊長與寬的比為3﹕2的小長方形鏡片，為小明做了一個精美的小鏡子，（要求長方形的各個頂點均在直角三角形的邊上），請你計算一下長方形鏡片的長與寬各為多少厘米？

4.正方形內截直角三角形

例7.正方形ABCD的邊長為4，點E、F分別在正方形的邊上（點E、F不與頂點重合），△AEF是斜邊等于5的直角三角形，且∠EAF≠90°，求BE的長。

5.正方形內截等腰梯形

例8.在邊長為8的正方形內截一個上底為4，下底為6的等腰梯形，其各頂點在正方形的邊上，求截得的等腰梯形的面積。

6.矩形內截等腰三角形

例9.矩形ABCD中，AB=8，BC=25，點O在BC邊上，BO=7，點M在線段OC上且OM=8，以OM為一邊作等腰△OMP，使點P在矩形的一邊上，求AP的長。

7.梯形內截等腰三角形

例10.有一底角為60°的直角梯形，上底長為10cm，與底垂直的腰長為10cm，以上底或與底垂直的腰為一邊作三角形，使三角形的另一邊長為15cm，第三個頂點落在下底上，請計算所作的三角形的面積。

三、外拼問題

1.等邊三角形外拼等腰三角形

例11.張大爺家的耕地為四邊形ABCD，∠BAD=105°，AB=20m，若張大爺沿對角線AC把地分給兩個兒子，其中耕地△ABC恰好為等邊三角形，另一塊耕地△ADC恰好為等腰三角形，求耕地△ADC的面積。

分析：本題的關鍵是要學生掌握從△ADC為等腰三角形這一條件出發，可得AC=AD、AC=CD、AD=CD這三種情況（如圖），由∠BAD=105°可得∠CAD=45°，所以后兩種圖形都是等腰直角三角形，因此筆者要求學生畫圖盡量標準，這樣在解題過程中才能避免失誤。

2.等腰直角三角形外拼等腰直角三角形

例12.Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長為多少？

3.直角三角形外拼直角三角形構成等腰三角形

例13.有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為6m、8m，現在要將綠地擴建成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形，求擴建后，等腰三角形綠地的周長。

4.直角三角形外拼直角三角形構成相似圖形

例14.有一塊直角三角形綠地，它的兩條直角邊長分別為3m和4m，現要將其擴充成四邊形，擴充部分是以4m為一邊的直角三角形，且與原直角三角形相似，試求擴充后的四邊形的面積。