淺談函數(shù)最值的幾種求法

摘 要：函數(shù)的最值問題是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要問題，也是歷年高考及數(shù)學(xué)競賽的常見題型。本文歸納了函數(shù)最值的幾種常用求法，以幫助學(xué)生解決此類問題。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；最值；求法

函數(shù)的最值求解是函數(shù)教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，其涉及的知識(shí)面廣，解題技巧性強(qiáng)，方法也因題而異。常見的求函數(shù)最值的方法有配方法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法、不等式法、二次函數(shù)法等。這些方法分別具有極強(qiáng)的針對(duì)性，每一種方法又不是萬能的。本文就常見的幾種方法進(jìn)行例析。

一、配方法

例1.已知3x2+4y2=6x，求x2+y2的最值y。

解：由3x2+4y2=6x，可得y2=，即y2=≥0，

∴解得0≤x≤2，∴x2+y2=x2+=(x+3)2-

∵0≤x≤2

∴當(dāng)x=0時(shí)，x2+y2有最小值且最小值為0；當(dāng)x=2時(shí)，x2+y2有最大值且最大值為4。

二、判別式法

例2.已知函數(shù)y=，求其最值。

解：由y=，得(y-1)x2+(1-y)x+y=0，設(shè)此方程為關(guān)于x的一元二次方程，此方程有實(shí)數(shù)解，∴y≠1且Δ≥0，即y≠1

3y2-2y-1≤0，解得：-≤y<1，即函數(shù)у有最小值ymin=-

（注意：y≠1）。

三、數(shù)形結(jié)合法

例3.已知x2+y2-2x+4y-20=0，求x2+y2的最值。

解：注意到x2+y2-2x+4y-20=0，即(x-1)2+(y+2)2=25，它是一個(gè)以O(shè)(1，-2)為圓心，5為半徑的圓。若設(shè)x2+y2=k，則k-2x+4y-20=0，即y=x+，這是斜率為且與已知圓相交的一簇平行線，由平面幾何知識(shí)得，求K的最值就是求這簇平行線在у軸的截距最大或最小值。

圓心O(1，-2)到直線k-2x+4y-20=0，即2x-4y+20-k=0的距離：d=≤5，即|30-k|≤10，∴-10≤30-k≤10，∴30-10≤k≤30+10，即x2+y2的最大值為30+10，最小值為30-10。

四、不等式法

例4.求y=+的最大值。

解：兩邊平方得：y2=x+1-2，即y2=1+2，而2≤()2+()2=x+1-x=1，∴y2≤2，(當(dāng)且僅當(dāng)x=1-x，即x=時(shí)取等號(hào))。∴-≤y≤，注意到y(tǒng)=+>0，故y的最大值為ymax=。

五、二次函數(shù)法

例5：已知函數(shù)f(x)=log2+log2(x-1)+log2(a-x)，求f(x)的最大值。

分析：先根據(jù)定義域求出x的取值范圍，再進(jìn)行分類討論。

解：由題意知

>0

x-1>0

a-x>0，解得x>1

x1）。原函數(shù)可化為：f(x)=log2(x-1)(a-x)=log2(x+1)(a-x)=log2[-x2+(a-1)x+a]，令：U=-x2+(a-1)x+a，則函數(shù)f(x)=log2U是增函數(shù)，又∵U=-x2+(a-1)x+a=-(x-)2+，x∈（1，a）。由于U=-(x-)2+的對(duì)稱軸為x=，故可分為三種情況來討論：

（1）當(dāng)≤1且a>1，即1

（2）當(dāng)1<3時(shí)，函數(shù)U在x=時(shí)取得最大值，其值為U=，從而原函數(shù)f(x)有最大值，其值為fmax(x)=log2=2log2(a+1)-2。

（3）當(dāng)≥a且a>1時(shí)，解得a∈φ，故此種情況不存在。

綜上所述，函數(shù)f(x)=log2+log2(x-1)+log2(a-x)在a>3且x=時(shí)有最大值，fmax(x)=2log2(a+1)-2。

以上給出的是在求解函數(shù)最值問題時(shí)常用的五種方法，只要我們?cè)趯W(xué)習(xí)中仔細(xì)研讀，把握要點(diǎn)，經(jīng)常運(yùn)用，就一定能夠熟練掌握這些方法并將它們靈活運(yùn)用到解決函數(shù)的最值問題中去。

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