關于復變函數論教學的幾點探討

【摘 要】本文結合近幾年來復變函數論課程中的教學實踐，針對教師只重視講授教學內容而忽視培養學生各方面能力的現象，就更新教學思想、轉變教學觀念、改革教學方法等方面進行了深入的探討。

【關鍵詞】教學改革 教學方法 數學思想

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）25-0087-01

作為本科數學專業的重要基礎課之一，復變函數論在整個課程體系中起著承上啟下的重要作用。該課程以數學分析為基礎，重點討論了解析函數的積分理論。通過這門課的學習，學生能夠對泛函分析等課程的學習打下良好的基礎。針對教師只重視講授教學內容而忽視培養學生各方面能力的現象，筆者提出以下幾點建議。

一 注重培養學生發現問題和解決問題的能力

在重要定理的證明過程中突出探索問題和研究問題的思路，特別強調證明過程中蘊含的數學思想。引導學生提出問題并解決問題，提高學生對定理內容的理解。例如：在Cauchy積分定理的證明過程中，為什么有些地方用到了函數的解析性，而有的地方僅僅用到了函數的連續性？怎樣用嚴格的數學語言描述折線逼近曲線的過程？在此過程中，讓學生深刻體會由特殊到一般、折線逼近曲線等樸素的數學思想，提高學生的邏輯思維能力。另外，定理的證明過程再現了數學大師們思考問題的方式，學生可通過學習定理窺視到他們是如何探索真理的，從而激發學習的積極性。盡量避免老師在黑板上推導、學生做筆記的現象發生，讓學生在提出問題、思考問題、解決問題的過程中感受定理的證明思路。

二 在比較過程中學習新知識

復變函數課程中的內容有很多都和數學分析中的教學內容相似。教師可以在教學過程中引導學生多做比較，得出兩門課程相關知識的區別和聯系。如引導學生思考復變函數的導數與一元函數、二元函數的導數有什么聯系？實數項級數的斂散性判別法是否適用于復數項級數？對于復函數項級數中的冪級數，它的性質、收斂半徑求法是否和實函數項級數中的冪函數保持一致？非零的解析函數的零點孤立性定理是否對可導的實函數成立？在用留數定理計算特殊的實積分時，回顧數學分析課程中的方法，比較兩種辦法的優缺點，讓學生切身感受到留數定理的威力。在教學活動中注重學生的主體意識，尋找類似于上面提到的切入點，通過指出本課程與數學分析課程的區別和聯系，使學生懂得該課程的重要性，同時激發學生的學習積極性。總之，讓學生在比較的過程中既可以溫習舊知識，又可以學到新知識。

雖然復變函數是數學分析的后續課程，但復變函數不僅僅是數學分析的延拓，它還有許多和數學分析不同的概念與方法。如多值函數、Laurent級數與孤立奇點、留數理論與共形映射等。在復變函數中學習的知識和數學分析中學習的知識側重點也不一樣，如微分與導數，數學分析主要講微分的概念、意義和計算，而在復變函數中只是簡單介紹了微分與導數的概念、性質及計算，重點研究的是解析函數。復變函數概念多，性質定理也很多，在教學過程中，既要抓好基礎，又要突出重點，更要通過總結、復習等教學環節，順著知識的邏輯結構，理清知識脈絡，這樣才能讓學生系統地掌握復變函數的理論和方法。

三 注重培養學生的構造能力

構造映射或函數是數學當中較難的問題，所以提高學生這方面的水平是教師需要考慮的一個課題。復變函數中某些定理的證明和第七章共形映射中涉及這個話題。通過詳細的講解并結合數形結合的思想，給學生在這方面有一個完整地呈現。如解析函數唯一性定理的證明過程中需要構造一連串的圓盤。另外，在共形映射這一章，構造符合條件的共形映射是主要目標。在介紹分式線性變換、分式線性變換和冪函數的復合以及分式線性變換和指數函數復合的教學內容時，通過畫圖和講解，讓學生學會構造簡單的共形映射。通過對這類問題的學習，培養學生的構造能力。

四 提高學生的歸納、總結能力

通過十幾年的學習積累，學生都有了一定的歸納總結能力。在復變函數論的教學過程中，教師可以引導學生思考解析函數的充要條件有哪些？計算復積分的方法有幾種？在解決這類問題的過程中促使學生對這門課有一個整體的把握，而不再是零散的知識點。

總之，為了讓學生能夠從復變函數論課程中得到更多的收獲，教師一定要注重學生各方面能力的培養，改進教學方法，更新教學觀念和思想，教學效果必能得到明顯的提升。

參考文獻

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[3]羅世堯.復變函數課程的有效教學策略探究[J].考試周刊，2014（6）

〔責任編輯：龐遠燕〕