積石成山 點(diǎn)亮夢(mèng)想

1 案例專題

課標(biāo)課程要求教師在教學(xué)時(shí)要關(guān)注學(xué)生的體驗(yàn)，給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間去經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)，使其經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程.教學(xué)活動(dòng)中，教師要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.

2 案例背景

2013年暑假，我參加華僑大學(xué)團(tuán)委組織的“積石成山、點(diǎn)亮夢(mèng)想”暑期愛(ài)心支教活動(dòng)，到甘肅省臨夏州積石山縣進(jìn)行支教.本節(jié)課《多邊形的內(nèi)角和》是支教期間上的一節(jié)課，學(xué)生所用的教材是新課標(biāo)人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》七年級(jí)（下冊(cè)），內(nèi)容是《§7.3.2 多邊形的內(nèi)角和》（第1課時(shí)）.本節(jié)課在教材中起著承上啟下的作用，學(xué)生要應(yīng)用前面所學(xué)過(guò)的“三角形的內(nèi)角和定理”來(lái)學(xué)習(xí)求“多邊形的內(nèi)角和”，為后面“平面鑲嵌”的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，適合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，易于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.在探究“多邊形內(nèi)角和公式”的過(guò)程中，我鼓勵(lì)學(xué)生嘗試從不同的角度去尋求解決問(wèn)題的方法，通過(guò)把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，逐步滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想

3 學(xué)情分析

積石山縣是甘肅省唯一一個(gè)擁有保安族、撒拉族、東鄉(xiāng)族、土族、回族等10個(gè)少數(shù)民族的自治縣，受支教班級(jí)的學(xué)生來(lái)自六個(gè)不同的少數(shù)民族，學(xué)生的學(xué)習(xí)水平參差不齊.為了使不同程度的學(xué)生在數(shù)學(xué)上都有所發(fā)展，我注重引導(dǎo)學(xué)生做學(xué)習(xí)的主人，通過(guò)自主探索、合作交流、師生互動(dòng)等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣.

4 教學(xué)片段實(shí)錄

教師：大家請(qǐng)看我手中的的實(shí)物分別是什么？（微笑）（3n≥，且n是正整數(shù)）

學(xué)生：六螺帽、八角石英鐘、五邊形水果盤.

教師：那么，大家知道五邊形、六邊形、八邊形的內(nèi)角和分別是多少度嗎？

學(xué)生1：三角形的內(nèi)角和是180d，正方形、長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是360d，四邊形的內(nèi)角和有可能是360d，至于其它的多邊形嘛……（思考中）

教師：今天我們一起來(lái)探討任意多邊形的內(nèi)角和與它的邊數(shù)之間的關(guān)系.學(xué)了這節(jié)課之后，上面的問(wèn)題就迎刃而解了.

教師：首先我們來(lái)探討一下任意四邊形的內(nèi)角和.請(qǐng)同學(xué)們?nèi)我猱嬕粋€(gè)四邊形，量一量它的四個(gè)內(nèi)角，算一算它們的和，驗(yàn)證一下它們的內(nèi)角和是否真的就是360d.（給學(xué)生足夠的時(shí)間）

（學(xué)生迅速地從文具盒中取出直尺、量角器，畫圖、測(cè)量四邊形的四個(gè)內(nèi)角，并計(jì)算它們的和）

學(xué)生2：（測(cè)量法）我畫的四邊形，測(cè)量出它們的內(nèi)角和是360d……（興奮、喜悅中）.

學(xué)生3：（拼圖法）（拿出準(zhǔn)備好的四邊形紙卡紙，標(biāo)上字母，然后把其中的三個(gè)內(nèi)角剪下，拼到最后一個(gè)內(nèi)角上）我的也是360d……

眾生：我們發(fā)現(xiàn)所畫的任意四邊形的內(nèi)角和都是360d……

教師：同學(xué)們積極動(dòng)手、動(dòng)腦 ，通過(guò)測(cè)量、計(jì)算、拼圖等方法歸納得出任意四邊形的內(nèi)角和都是360°，很好.測(cè)量法容易引起誤差，拼圖法有一定的局限性，而數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，接下來(lái)問(wèn)大家，能否用說(shuō)理的方法，推導(dǎo)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論是成立的呢？下面請(qǐng)同學(xué)們四人一小組，來(lái)共同探討，尋找解決問(wèn)題的辦法.相信大家一定行，加油！

學(xué)生：（激烈討論）……（困惑）

教師：（點(diǎn)撥）三角形的內(nèi)角和是180°，而360°=180°2×，大家能利用三角形內(nèi)角和定理來(lái)證明任意四邊形的內(nèi)角和等于360°呢？

學(xué)生4：關(guān)鍵在于把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形.

教師：非常好！說(shuō)到了點(diǎn)子上！各小組討論后，選派代表說(shuō)出你們的推理方法.（學(xué)生組內(nèi)討論，教師適時(shí)點(diǎn)撥引導(dǎo)）

教師：哪位同學(xué)能將這些驗(yàn)證方法進(jìn)行歸納、分類呢？試試看哦.

學(xué)生11：①測(cè)量法；②拼圖法；③轉(zhuǎn)化法；（構(gòu)造三角形、同旁內(nèi)角、平角）

教師：大家分析得都非常好！老師為你們的勤奮好學(xué)感到驕傲！（同學(xué)們開(kāi)心地鼓掌）同學(xué)們覺(jué)得哪位同學(xué)的方法推理更方便簡(jiǎn)單呢？

學(xué)生：……

學(xué)生12：學(xué)生5的方法（同學(xué)們目光投向他所在的第1小組，并報(bào)以熱烈的掌聲）比較容易理解，很方便.

教師：（給予肯定）第1小組的做法是從四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，引了一條對(duì)角線，把四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形，借助于三角形內(nèi)角和定理，得出任意四邊形的內(nèi)角和為360°.那么五邊形、六邊形等任意多邊形的內(nèi)角和，能用類似的方法解決嗎？下面請(qǐng)同學(xué)們分組討論，相信大家能順利完成下列表格.

學(xué)生：（通過(guò)討論交流，填寫完成下表）

教師：很好！請(qǐng)同學(xué)們思考以下三個(gè)問(wèn)題：

①多邊形內(nèi)角和與三角形內(nèi)角和的關(guān)系？

②多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和的關(guān)系？

③從多邊形一個(gè)頂點(diǎn)引的對(duì)角線分三角形的條數(shù)與多邊形邊數(shù)的關(guān)系？

（鼓勵(lì)學(xué)生從具體到抽象，分析問(wèn)題的本質(zhì)，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維）

學(xué)生結(jié)合思考題進(jìn)行討論，并把討論后的結(jié)果進(jìn)行交流.

發(fā)現(xiàn)1：四邊形內(nèi)角和是（4-2）個(gè)180d的和，五邊形內(nèi)角和是（5-2）個(gè)180d的和，六邊形內(nèi)角和是（6-2）個(gè)180d的和，七邊形內(nèi)角和是（7-2）個(gè)180d的和，八邊形內(nèi)角和是（8-2）個(gè)180d的和，n邊形內(nèi)角和是（2）n？個(gè)180d的和.

發(fā)現(xiàn)2：多邊形的邊數(shù)增加1，內(nèi)角和增加180d.

發(fā)現(xiàn)3：從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引（5-3）條對(duì)角線，將五邊形分成（5-2）個(gè)三角形， 從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引（6-3）條對(duì)角線，將六邊形分成（6-2）個(gè)三角形， 從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引（3）n？條對(duì)角線，將n邊形分成（2）n？個(gè)三角形.

師生：（共同得出結(jié)論）n邊形的內(nèi)角和公式：（2） 180n？？d（3n≥，且n是正整數(shù)）

……

5 教學(xué)反思

（1）本節(jié)課，注重知識(shí)的生成過(guò)程，落實(shí)啟發(fā)式教學(xué).教學(xué)中， 學(xué)生有充足的時(shí)間、空間去自主探索、合作交流，通過(guò)“測(cè)量、計(jì)算、拼圖”得出四邊形的內(nèi)角和是360°，然后通過(guò)一些輔助線：連對(duì)角線、在四邊形內(nèi)部找點(diǎn)、在四邊形的邊上找點(diǎn)、在四邊形的外部找點(diǎn)、作平行線等，來(lái)構(gòu)造三角形、平角、同旁內(nèi)角，借助于“三角形內(nèi)角和定理”、“1平角等于180°”、“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”生成“任意四邊形的內(nèi)角和等于360°，進(jìn)而借助于連結(jié)對(duì)角線將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，最終生成出n邊形的內(nèi)角和等于（2） 180n？？d（3n≥，且n是正整數(shù)）..

（2）本節(jié)課，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用、學(xué)生的主體作用.通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境、設(shè)計(jì)層層深入的問(wèn)題來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，在小組合作交流中各自取長(zhǎng)補(bǔ)短，啟發(fā)思考，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體，逐步掌握數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，正是美國(guó)教育學(xué)家“在做中學(xué)”理論的體現(xiàn).

（3）本節(jié)課，注重滲透“轉(zhuǎn)化”、“質(zhì)疑—猜想—驗(yàn)證—?dú)w納”、“數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學(xué)思想于教學(xué)中.學(xué)生在積極參與教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，通過(guò)獨(dú)立思考、合作交流，逐步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、感悟數(shù)學(xué)思想，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲.通過(guò)教學(xué)，使學(xué)生初步學(xué)會(huì)了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般方法，即化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化未知為已知，再運(yùn)用已有知識(shí)研究新問(wèn)題的化歸思想，在觀察、探索、猜想、推理、交流的過(guò)程中，真正理解、掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)——“積石成山，點(diǎn)亮夢(mèng)想”！