由“拼接最大三角形”問(wèn)題引發(fā)的探究

解析 對(duì)于絕大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，如果不具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，顯然要被難倒，因?yàn)榇_定各邊的長(zhǎng)度時(shí)，即要把這5個(gè)數(shù)任意的分成3組，有許多可能的組合，例如9，9，2；9，8，3； 7，7，6等等，如果分別求出各三角形的面積，然后比較得到這些三角形中面積最大的一個(gè)，費(fèi)時(shí).其實(shí)由題設(shè)知道，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是定值20，周長(zhǎng)是定值的三角形在高或底趨向于零時(shí)其形狀趨向于一條直線，其面積趨向于零，因此直覺比較好的學(xué)生會(huì)意識(shí)到只有當(dāng)三角形的形狀趨向于最“飽滿”時(shí)面積最大，亦即形狀接近于正三角形時(shí)面積最大，故三邊長(zhǎng)應(yīng)該為7、7、6，因此易知最大面積為2 xlx<？，如果把x看成一個(gè)常數(shù)，則lx？也是一個(gè)常數(shù)，而且有xlx<？成立，故三角形的一個(gè)頂點(diǎn)滿足橢圓的定義：2alx=？，2cx=，且22ca<.

現(xiàn)在我們要求出函數(shù)（ ）f x的最大值，對(duì)于求這個(gè)函數(shù)的最大值，我們可以借助于Ti圖形計(jì)算器，運(yùn)用其強(qiáng)大的運(yùn)算和作圖功能，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解.

綜上有：當(dāng)三角形的周長(zhǎng)為定值時(shí)，正三角形的面積最大，而越接近正三角形形狀的三角形的面積越大.而此函數(shù)的圖像很好地解釋了等周原理.

在證明結(jié)論“若三角形的周長(zhǎng)為定值，則正三角形的面積最大”時(shí)，本文用了“控制變量法”.當(dāng)然證明的方法還可以借助海倫公式，用基本不等式完成或者利用高等數(shù)學(xué)中拉格朗日乘數(shù)法，對(duì)二元函數(shù)求偏導(dǎo)，得到極值等.

探究 我們已經(jīng)證明了結(jié)論：當(dāng)三角形的周長(zhǎng)為定值時(shí)，正三角形的面積最大.但是反過(guò)來(lái)，我們會(huì)思考這樣一個(gè)問(wèn)題：若三角形的面積為定值，那么其周長(zhǎng)是否有最值呢？我們知道，周長(zhǎng)的最大值肯定沒有，因?yàn)橹灰谷切蔚母呲吔诹悖瑒t底邊長(zhǎng)就趨近于無(wú)窮大.于是問(wèn)題就變成：若三角形的面積為定值，那么其周長(zhǎng)是否有最小值？下面我們?cè)儆谩翱刂谱兞糠ā辈⒔柚鷪D形計(jì)算器進(jìn)行求解.

在解一些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)候會(huì)遇到運(yùn)算或作圖上的麻煩，比如前面所述的兩個(gè)函數(shù)求最值問(wèn)題時(shí)，用初等數(shù)學(xué)的方法是比較難解決的，而且作函數(shù)圖象時(shí)，更是可能寸步難行，但Ti圖形計(jì)算器能有效解決此類問(wèn)題，直觀的展現(xiàn)函數(shù)圖象，為解題提供了便捷.