高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題難度要素探析

數(shù)學(xué)應(yīng)用題亦是一種數(shù)學(xué)問題，通常把來源于客觀世界的實(shí)際且具有實(shí)際意義或?qū)嶋H背景的、要求通過數(shù)學(xué)建模方法將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式表示，從而獲得解決的一類數(shù)學(xué)問題稱為數(shù)學(xué)應(yīng)用題.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出：“要有助于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)應(yīng)用意識，形成解決簡單實(shí)際問題的能力”.與此相適應(yīng)地，高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材明顯加重了數(shù)學(xué)應(yīng)用份量，數(shù)學(xué)應(yīng)用越來越廣泛，應(yīng)用題考查的重要性愈顯突出.但現(xiàn)狀表明，“數(shù)學(xué)應(yīng)用題問題”仍是長期困擾學(xué)生和教師的難題.基于此，筆者認(rèn)為，為加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，為培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，對高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題難度要素的研究尤為重要.

1 影響數(shù)學(xué)應(yīng)用題難度的因素

應(yīng)用題的命制是高考命題的一大難點(diǎn)，若命制成功，則極易成為整卷的亮點(diǎn)；毋庸置疑，若命制的質(zhì)量較為一般，則起不到應(yīng)有的考查功能.試題難度是試卷參數(shù)中的一個(gè)重要指標(biāo)，代表了試題對學(xué)生知識和能力水平的適合程度.對難度的調(diào)控就是正確實(shí)現(xiàn)考核要求的有效手段.在高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題中，對難度的影響主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.1 應(yīng)用題的背景

《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010-2020年）》中提出了“優(yōu)先發(fā)展、育人為本、改革創(chuàng)新、促進(jìn)公平、提高質(zhì)量”.把促進(jìn)公平作為國家基本教育政策.教育公平是社會公平的重要基礎(chǔ)，教育公平的關(guān)鍵是機(jī)會公平.高考承擔(dān)著教育篩選和社會篩選的雙重功能，所以高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的背景的公平性至關(guān)重要.挑選的情景材料對于所有學(xué)生來說均熟悉，方能保障考試的公平性.要考慮試題中情景材料對學(xué)生的影響，消除城鄉(xiāng)差別、地區(qū)差別、性別差別、貧富差別等對答題的影響.

例1 （1999年高考全國大綱卷·理22）下圖為一臺冷軋機(jī)的示意圖.冷軋機(jī)由若干對冷軋棍組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出.

（Ⅱ）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.

本題在生活中有較多的實(shí)例題目，涉及到球和圓柱構(gòu)成的組合體的表面積和體積，貼近學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際，背景公平，難度適中，無任何牽強(qiáng)附會之嫌.由于教材中也出現(xiàn)了多個(gè)以體積為平臺，考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的實(shí)際問題，因此該問題的設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了“源于教材而高于教材”的理念，對中學(xué)教學(xué)將起到積極的引導(dǎo)作用.該題的設(shè)計(jì)，符合實(shí)際情景，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與分類整合的思想，以及建模能力和應(yīng)用意識.該題背景和數(shù)學(xué)知識相得益彰，體現(xiàn)了命題者對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際的充分把握和自身的較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也是于平淡處挖掘新意的典范.

1.2 應(yīng)用題的閱讀量

數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字量對試題難度的影響較大，很多學(xué)生遇到文字比較長的應(yīng)用題不知道怎樣去分析和尋找題中的數(shù)量關(guān)系，不知道怎樣把實(shí)際問題化成一個(gè)數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型.所以，應(yīng)適當(dāng)控制數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字量.

（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；

（2）問該企業(yè)裁員多少人，才能獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益？

本題背景公平、新穎，時(shí)代性強(qiáng)，與國家的政策相吻合，數(shù)學(xué)應(yīng)用味道濃，但題干文字稍多，考生理解較費(fèi)時(shí)；同時(shí)數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜，建模難度大，得分情況自然就不理想.

例4 （2009年高考寧夏海南卷·理17）為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；②用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟.

本題言簡意賅，是課本習(xí)題的改編題，重視建模，淡化計(jì)算，不失為一道好題.考生對該題背景熟悉，對題干的理解較容易，便于建模，較好地考查了學(xué)生的應(yīng)用意識，得到了一致好評.

1.3 應(yīng)用題的設(shè)問方式

應(yīng)用題設(shè)問是問題的呈現(xiàn)方式，也是常常影響到試題難度的一個(gè)因素，在對應(yīng)用題進(jìn)行考查時(shí)，對于問題的不同設(shè)問方式也常常對試題難度有著影響.在考查相同的內(nèi)容知識時(shí)，試題不同的設(shè)問方式、編排對試題難度的控制也起著非常重要的作用.

例5 （2010年高考重慶卷·文17）在甲、乙等6個(gè)單位參加的一次“唱讀講傳”演出活動中，每個(gè)單位的節(jié)目集中安排在一起.若采用抽簽的方式隨機(jī)確定各單位的演出順序（序號為1，2，……，6），

（Ⅰ）求甲、乙兩單位的演出序號均為偶數(shù)的概率；

（Ⅱ）甲、乙兩單位的演出序號不相鄰的概率.

例6 （2010年高考重慶卷·理17）在甲、乙等6個(gè)單位參加的一次“唱讀講傳”演出活動中，每個(gè)單位的節(jié)目集中安排在一起.若采用抽簽的方式隨機(jī)確定各單位的演出順序（序號為1，2，……6），求：

（I）甲、乙兩單位的演出序號至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率；

（II）甲、乙兩單位之間的演出單位個(gè)數(shù)ξ的分布列與期望.

從上面的例子可以看出，兩個(gè)題目的題干皆相同，但可根據(jù)文理科的差異等，采取不同的設(shè)問方式，試題的難度就截然不同.

2 數(shù)學(xué)應(yīng)用題難度調(diào)控方法

試題的難度是根據(jù)不同層次的數(shù)學(xué)考試要求而確定的.試題太難，則好生與差生都做不出，試題過于簡單，則好生與差生都能做，這樣就降低了信度，不利于選拔人才.數(shù)學(xué)命題必須有適當(dāng)?shù)碾y度，當(dāng)然，對于不同程度、不同層次的數(shù)學(xué)考試，其命題的難度也是不同的，命題者需根據(jù)參加考試的考生水平來確定試題的難度.

調(diào)控?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用題難度的主要方法有以下幾種：

2.1精選應(yīng)用題的背景

傳統(tǒng)應(yīng)用題是為了鞏固數(shù)學(xué)知識，拉大了與現(xiàn)實(shí)生活之間的距離，造成這些問題離學(xué)生太遠(yuǎn)，學(xué)生欠缺這方面的生活經(jīng)驗(yàn)，甚至有些應(yīng)用題的情境是人為編造，學(xué)生面對這些問題時(shí)就會感到枯燥乏味.因此設(shè)計(jì)應(yīng)用題時(shí)，不妨選用學(xué)生喜歡的充滿樂趣的生活中的數(shù)學(xué)問題，必要時(shí)可對教材中應(yīng)用題的選材做適當(dāng)?shù)母木?在教學(xué)中，不妨以例題為基本內(nèi)容，做些生活化的加工，拉近數(shù)學(xué)與生活的距離.數(shù)學(xué)應(yīng)用題應(yīng)源于生活，背景可取自于生活實(shí)際或教材.

2.2調(diào)控應(yīng)用題的閱讀量

有一種美叫做簡潔.數(shù)學(xué)應(yīng)用題不應(yīng)有太多的文字語言，才能體現(xiàn)自身的美.過多的文字?jǐn)⑹鲋荒茉黾討?yīng)用題的難度，讓考生過多的時(shí)間花在對題目的閱讀上，使考生反感；反之，則更能激發(fā)他們的潛能，增加他們解題的信心，從而真正達(dá)到考查學(xué)生應(yīng)用能力的目的.

2.3 合理設(shè)計(jì)應(yīng)用題的設(shè)問

可以通過試題的設(shè)問方式來控制試題的難度.根據(jù)應(yīng)用題在試卷中的不同位置、考生的實(shí)際情況等，設(shè)計(jì)不同的設(shè)問方式.若題目靠前或考生水平較低，則可通過建立簡單的數(shù)學(xué)模型即可解決為宜；若題目靠后或考生的水平較高，則可增加適當(dāng)?shù)姆诸愑懻摗㈤_放性、探索性的設(shè)問，試題的難度也就加大了.

當(dāng)然影響高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的難度的因素還有許多，以上只是筆者從多年的數(shù)學(xué)應(yīng)用題的命制中得到的一些膚淺的體會.應(yīng)用題設(shè)計(jì)時(shí)，問題情境應(yīng)貼近生活，擴(kuò)大開放性，可以給學(xué)生提供既能激發(fā)興趣，又能創(chuàng)造廣闊的思維空間的學(xué)習(xí)材料.這有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)情感，從而強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

參考文獻(xiàn)

[1]陳昂，任子朝.數(shù)學(xué)文、理科試卷難度調(diào)控策略.數(shù)學(xué)通報(bào)，2011（9）：5-7