由一道幾何題的多證引發的對輔助線作法的思考

蔡菲

【摘要】 好的練習題是一種難得的教學資源，蘊含著很高的教學價值.其中存有多種解法的題就是一類比較好的題目.通過對此類題目的多維度解答，可以很好地培養學生發散性思維能力以及分析問題、解決問題的能力.

【關鍵詞】 一題多證；輔助線；思考

幾何證明題一直是初中數學的重點和難點，但這部分內容卻讓很多學生感到頭疼.究其原因有以下幾點：第一，輔助線的添加具有一定的難度；第二，對已學的定理、推論等掌握不夠牢固；第三，不能準確地將題目中所提供的信息與自己已有的知識建立一定的聯系；第四，問題分析能力的不足.那么教師怎樣通過對題目的解答來引導學生提高分析問題的能力和歸納總結能力呢？下面就以一道多證題為例，談談證明題中關于輔助線的作法.

一、題目及多證

如圖1， 在△ABC中， AB=AC， F是AC上的點， 在BA的延長線上取一點E使AE = AF，連接EF并延長交BC于點D， 求證：EF⊥BC.

方法一：作∠BAC的角平分線交BC于G.

如圖2所示.

∵ AE = AF，

∴ ∠AFE = ∠E， ∠BAC是△AEF的外角.

∴ ∠BAC = ∠AFE + ∠E = 2∠AFE.

∵ AG平分∠BAC，

∴ ∠BAC = 2∠GAC.

∴ ∠GAC = ∠AFE.

∴ AG∥ED.

∵ AB = AC， AG是∠BAC的角平分線，

∴ AG⊥BC.

∴ ∠FDC = ∠AGC = 90°.

∴ EF⊥BC.

評析 通過作角平分線來構造兩個相等的角，再利用等腰三角形頂角的角平分線也是底邊的高這一性質，最終得出EF⊥BC.

方法二： 取線段EF的中點H， 連接AH，如圖3所示.

∵ AB = AC，

∴ ∠B = ∠C.

∵ ∠EAF是 △ABC的外角，

∴ ∠EAF = ∠B + ∠C = 2∠C.

又 ∵ AE = AF，FH = EH，AH = AH，

∴ △AHF ≌ △AHE.

∴ ∠EAF = 2∠HAF.

∴ ∠C = ∠HAF.

∴ AH∥BC.

∵等腰△AEF中，FH = EH，

∴ ∠AHF = ∠FDC = 90°.

∴ EF⊥BC.

評析 通過作線段的中點來構造兩段相等的線段，從而為證明兩個三角形全等提供了條件.

方法三： 過點C作MC⊥BC于點C， 交BA的延長線于點M， 如圖4所示.

∴ ∠M + ∠B = 90°，

∠MCA + ∠ACB = 90°.

又 ∵ AB = AC，

∴ ∠B = ∠ACB.

∴ ∠M = ∠MCA.

∵ ∠BAC是△ACM的一個外角，

∴ ∠BAC = ∠M + ∠MCA = 2∠M.

∵ ∠BAC是△AEF的一個外角，

∴ ∠BAC = ∠AEF+∠AFE.

∵ AE = AF，

∴ ∠AEF = ∠AFE.

∴ ∠BAC = 2∠AEF.

∴ ∠M = ∠AEF.

∴ EF∥MC.

∴ ∠EDB = ∠MCB = 90°.

∴ EF⊥BC.

評析 通過作已知直線的垂線，可以構造一個直角三角形，而在直角三角形中不僅可以得到兩銳角之和為90°，而且可以得到兩條相互垂直的線段.

方法四： 過點E作EP∥AC， 交BC的延長線于點P， 如圖5所示.

∴ ∠P = ∠ACB.

∵ AB = AC，

∴ ∠B = ∠ACB. ∴ ∠B = ∠P.

∴ EB = EP.

∴ △EBP是等腰三角形.

∵ AE = AF，

∴ ∠AEF = ∠AFE.

又 ∵ AC∥EP，

∴ ∠AFE = ∠FEP，∠AEF = ∠FEP，

即ED是等腰三角形EBP的頂角平分線.

∴ ED⊥BP， 即EF⊥BC.

評析 通過作已知線段的平行線來證明兩個角相等，再利用等腰三角形頂角的角平分線也是底邊上的高這一性質，最終得到EF⊥BC.

二、歸納及思考

通過對上述題目的解答和評析能夠得出以下幾種常見的輔助線作法：

1. 作角平分線

通過作角平分線，一方面可以得到兩個相等的角，另一方面，我們知道角平分線上的點到角兩邊的距離相等，這樣可以很好地構造出兩個全等的三角形.所以當題目中涉及角之間的關系時，我們常用這種輔助線的作法.

2. 取線段的中點

取線段的中點有兩種作法.第一，取已知線段的中點；第二，將已知線段的一個端點作為中點，對線段進行延長，使所得的線段變為原線段的兩倍；第三，取三角形任意兩邊的中點，并將兩中點連接，再根據題意對中位線的性質進行選用.若題目中出現線段之間的等量關系，我們首選的就是這種輔助線的作法.

3. 作垂線

過一點作已知線段的垂線，這樣可以構造一個直角三角形，進而我們根據題意利用有關直角三角形的性質來解題.這種輔助線的作法常用在以下幾種題型中：第一，求兩銳角之和等于90°；第二，求證兩線段互相垂直；第三，求證幾條線段之間存在的數量關系.

4. 作平行線

通過作已知線段的平行線我們不僅可以得到一些角的等量關系，而且可以得到一些線段的比例關系.若題目要求證明線段的比例關系或者兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積應首選這種輔助線的作法.

總之，在幾何證明題中，恰當地添加輔助線至關重要.學生應該在做題的過程中，總結添加一些輔助線的基本規律，對于一些非常規的題目，要善于聯想，善于結合，把題設、結論，用已學知識聯系起來，找到突破口，從而成功地添加輔助線.