給討厭數(shù)學(xué)的人

【摘要】通過奇妙的例題來(lái)反映數(shù)學(xué)的有趣，通過流暢的敘述來(lái)說明數(shù)學(xué)的有用，通過“有趣”和“有用”來(lái)喚醒討厭數(shù)學(xué)的人，改變他們的數(shù)學(xué)觀念，調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性和積極性，力爭(zhēng)使他們津津有味地去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，掌握一些數(shù)學(xué)知識(shí)，提高分析問題、解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) 興趣 數(shù)學(xué)素養(yǎng)

【基金項(xiàng)目】編號(hào)SGH13170，高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)人文教育的研究。

【中圖分類號(hào)】O1 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）10-0128-02

數(shù)學(xué)具有這樣的一些特征：數(shù)學(xué)是由命題羅列起來(lái)的抽象的體系結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)的推理極其困難和復(fù)雜，數(shù)學(xué)的結(jié)論絕對(duì)嚴(yán)密。[1]正因?yàn)槿绱耍S多學(xué)生都會(huì)愕然愧懺：數(shù)學(xué)本身應(yīng)該是最抽象最枯燥的學(xué)問，數(shù)學(xué)應(yīng)該是最讓人頭痛和最討厭的題海。因此在中小學(xué)甚至在大學(xué)里，愛好數(shù)學(xué)、成績(jī)優(yōu)良、又學(xué)的比較輕松的學(xué)生不是很多，反而是討厭數(shù)學(xué)、畏懼?jǐn)?shù)學(xué)、應(yīng)付數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和考試的大有人在，還有少數(shù)人對(duì)數(shù)學(xué)避而遠(yuǎn)之，知難而退。這種現(xiàn)狀隨著教學(xué)改革的逐步推進(jìn)在改善，但還是跟不上時(shí)代的節(jié)奏。

筆者設(shè)想通過對(duì)一些簡(jiǎn)單奇妙的例題做比較到位的深入及拓廣分析展示，會(huì)對(duì)一些討厭數(shù)學(xué)的人起到潛移默化的帶動(dòng)作用，讓他們感受到數(shù)學(xué)的趣味性及數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，感受到數(shù)學(xué)推理內(nèi)在的優(yōu)美和完善，從而能喜歡數(shù)學(xué)。

1.雞兔同籠問題[2]

雞兔共有20個(gè)頭，68只腳，問有多少只雞？多少只兔？

這是一道簡(jiǎn)單而又典型的題目，是一道小學(xué)生就可以做的題目。其思考過程是：如果20只都是雞，那么是40只腳，題設(shè)是68只腳，比40只腳多了28只，這是因?yàn)橛型茫幸恢煌茫瑒t多兩只腳，現(xiàn)在多了28只腳，表明有14只兔。因此，籠中有6只雞，14只兔。

初中生可以通過列方程來(lái)求解。設(shè)有x只雞，y只兔，則由題意，得

x+y=202x+4y=68

解得x=6，y=14。

如果別出心裁，奇思異想，想象著：雞將一只腳抬起，兔將兩只腳抬起，則雞兔頭數(shù)不變，而立在地上的腳卻減了一半，為34只腳，可知兔數(shù)為34-20=14只，那么有6只雞。

三種解題方法，意味著思維方式的進(jìn)步。第三種別出心裁的解題方法，簡(jiǎn)單，有趣味，更顯示出一種發(fā)散思維，一種聰慧，不像第一種方法那樣繞來(lái)繞去，也不像第二種方法那樣循規(guī)蹈矩。經(jīng)常這樣去考慮問題和處理問題，有助于數(shù)學(xué)靈感的激發(fā)，有助于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

每個(gè)人都不愿意將自己的認(rèn)識(shí)水平停留在小學(xué)層面上，這就需要不斷的學(xué)習(xí)，提高自己的知識(shí)素養(yǎng)，特別是數(shù)學(xué)素養(yǎng)，因?yàn)閿?shù)學(xué)充實(shí)著自然界各個(gè)領(lǐng)域。

2.具有對(duì)稱美的算式[2]

■=■=111111111×111111111=12345678987654321

■=■

=11111111×11111111=123456787654321

事實(shí)上，有通式：

n個(gè) n個(gè) n個(gè) n個(gè)

■=■=12…（n-1）n（n-1）…21 這里n可取1，2，3，4，5，6，7，8，9中任何一個(gè)數(shù)字。

這些算式的結(jié)果都是回文數(shù)，所謂回文數(shù)，就是在正整數(shù)中，無(wú)論從左往右讀，還是從右往左讀，都是一個(gè)數(shù)。有無(wú)窮多個(gè)回文數(shù)，它們從表面上看起來(lái)具有對(duì)稱性。這些算式整齊、勻稱、和諧、平衡、有規(guī)律，給人以美的享受，使人感到驚奇、有趣，你是不是還覺得好玩呢？如果你覺得不是很好玩，那么下面就將上面出現(xiàn)過的部分?jǐn)?shù)字累成金字塔[3]：

用數(shù)字建造金字塔能使你感受數(shù)學(xué)既美又奇妙，蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)中的美有很多，只要善于挖掘，善于欣賞，一定有助于陶冶情操，開發(fā)智力，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

牛頓二項(xiàng)式定理與楊輝三角形是一對(duì)天然的數(shù)形趣遇，求二項(xiàng)展開式系數(shù)的問題，實(shí)際上是一種組合數(shù)的計(jì)算問題，用系數(shù)通項(xiàng)公式來(lái)計(jì)算，稱為“式算”；用楊輝三角形來(lái)計(jì)算，稱作“圖算”，圖算比式算要簡(jiǎn)單的多，圖算中的“圖”指下面的無(wú)底金字塔，圖的左右兩邊都是1，內(nèi)部每一個(gè)數(shù)字都是其所在位置的肩上（上面一行）相鄰兩個(gè)數(shù)字之和。按此規(guī)律可以快速寫出二項(xiàng)式（a+b）n當(dāng)n為任意自然數(shù)時(shí)的展開式系數(shù)，從而寫出（a+b）n展開式。

許多數(shù)學(xué)題都有多種解法，在解題時(shí)多角度去考慮，比較各種解法，總結(jié)特點(diǎn)和技巧，牢記比較簡(jiǎn)單的解法，這是鞏固知識(shí)的很好的途徑，是學(xué)好數(shù)學(xué)的有效方法之一。

3.數(shù)學(xué)對(duì)聯(lián)

傳說鄭板橋當(dāng)縣令時(shí)，常微服私訪，體察民情。有一年春節(jié)私訪時(shí)，他看到一戶人家門上貼的對(duì)聯(lián)：上聯(lián)是二三四五；下聯(lián)是五六七八，橫批是南北，便微微一笑，馬上令差人取來(lái)白米和衣物贈(zèng)送給那戶人家。讀者你可知道其中的緣由？

一副簡(jiǎn)單含蓄的數(shù)學(xué)對(duì)聯(lián)可以兌來(lái)白米和衣物，這僅僅是冰山一角，數(shù)學(xué)與社會(huì)是緊密相連的，數(shù)學(xué)是大有作為的[4、5]。要想理解這一點(diǎn)，就讀讀《數(shù)學(xué)與社會(huì)》和《大有可為的數(shù)學(xué)》這兩本書。

4.不可思議的等式0.999…=1

許多人認(rèn)為0.999…是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，它與自然數(shù)1就差那么一點(diǎn)點(diǎn)，它當(dāng)然只能近似等于1而不能絕對(duì)等于1，這是浮淺的認(rèn)識(shí)。事實(shí)上，0.999…與1只是表現(xiàn)形式不同，實(shí)際上是相等的，這有多種證明方法，下面給出兩種證明方法。

1.1用初等方法證明（這是最常見的解法）

設(shè)a=0.999…，則

10a=9.999…=9+0.999…=9+a，

解得a=1，即0.999…=1.

1.2用嚴(yán)格的ε-N定義證明

設(shè)xn= ■，即將0.999…看成一個(gè)數(shù)列0.9，0.99，…，0.999…9，….有

x■-1=■-1=■+■+…+■-1=■■-1=■·■-1=■■

對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，不妨設(shè)ε<■，要使x■-1<ε，只要■<ε，亦即只要n>lg■，故可選N=lg■，則當(dāng)n>N時(shí)，有x■-1=■-1<ε，因此，■xn=1. 即就是等式0.999…=1

成立。

0.999…=1體現(xiàn)了無(wú)限與有限的統(tǒng)一。還給人以警示，做事情，不要被表面現(xiàn)象所迷惑，不要盲目下結(jié)論。要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，要多思考，多探究，多問幾個(gè)為什么，這也是在培養(yǎng)自己的鉆研精神。學(xué)習(xí)知識(shí)，缺少刻苦鉆研的精神是不行的。

5.盲目起名

設(shè)a=1+2+4+8+16+32+…，則

a=1+2（1+2+4+8+16+…）=1+2a

解得a=-1，這個(gè)結(jié)果顯然是錯(cuò)誤的。反思解題過程，可知無(wú)窮級(jí)數(shù)1+2+4+8+16+…是發(fā)散的，它不可能等于一個(gè)定數(shù)，也就是說，不能用一個(gè)符號(hào)a來(lái)表示，更不能將初等數(shù)學(xué)中的代數(shù)方法（處理有限運(yùn)算問題解方程的方法）套到無(wú)限運(yùn)算上去，就運(yùn)算法則來(lái)說，超限數(shù)的運(yùn)算法則與有限數(shù)的運(yùn)算法則是不完全相同的。

有限和無(wú)限是一對(duì)很有特色的數(shù)學(xué)概念，也是哲學(xué)家十分關(guān)心的概念之一，它們既相互聯(lián)系，又有個(gè)自的特性，有限是無(wú)限的基礎(chǔ)，有限又包含無(wú)限，你中有我，我中有你，有時(shí)又水火不容，其中之奧妙，正是辯證之本性，值得深思與探究。

6.算不完的題

例1 求極限■■.

這是■型不定式，適合洛必達(dá)法則要求的三個(gè)條件，但是如果用洛必達(dá)法則求，便會(huì)是下面這個(gè)樣子：

■■=■■=■■=■■=…，

往復(fù)循環(huán)，不改變方法的話，永遠(yuǎn)也做不完。這時(shí)不要急于下結(jié)論，說原極限不存在。事實(shí)上，有下面的簡(jiǎn)單解法：

■■=■■=■■=1

這可謂柳暗花明又一村。做數(shù)學(xué)題就是這樣，在經(jīng)歷了挫折、苦思冥想之后得到了正確答案，困惑厭煩頓時(shí)就會(huì)變成愉悅的心情。經(jīng)過成百上千次這樣的磨練，不僅僅是提高了數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還會(huì)覺得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，苦中有樂，其樂無(wú)窮，何樂而不為呢？

例2 求積分■cotxdx

解：用分部積分法做。

■cotxdx=■■dx=■■d（sinx）=1+■sinx·cscx·cotxdx=1+■cotxdx

即有■cotxdx=1+■cotxdx，如果就此消去等號(hào)兩端的積分，則得0=1，這顯然是錯(cuò)誤的；如果繼續(xù)用此方法往下做，則有

■cotxdx=n+■cotxdx，n可以是任意一個(gè)自然數(shù)，也就是說，任意一個(gè)自然數(shù)都等于零，這顯然是一個(gè)謬論。這表明，對(duì)于這個(gè)積分來(lái)說，不適合用分部積分法做。

正確的解法是：

■cotxdx=■■dx=■■d（sinx）=lnsinx+C

這是何等的簡(jiǎn)單！似乎隱藏著迷途知返，回頭是岸的哲理。

7.讀讀數(shù)學(xué)史

數(shù)學(xué)，作為人類文明的重要組成部分，有著非常悠久的歷史。據(jù)文字記載，至少在5000年以前，人類就已有了數(shù)學(xué)活動(dòng)。數(shù)學(xué)不僅僅是一種方法、一門藝術(shù)或一種語(yǔ)言，更主要的是一門有著豐富內(nèi)容的知識(shí)體系，其內(nèi)容對(duì)自然科學(xué)家、社會(huì)科學(xué)家、哲學(xué)家、邏輯學(xué)家和藝術(shù)家等都有用，同時(shí)也影響著政治家和神學(xué)家的學(xué)說[6]。數(shù)學(xué)史，顧名思義就是研究數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生、演變過程及其規(guī)律，簡(jiǎn)單地說，就是研究數(shù)學(xué)的歷史。數(shù)學(xué)史是一門文理交叉學(xué)科。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，了解數(shù)學(xué)發(fā)展過程，感受數(shù)學(xué)史中的趣聞和逸事，領(lǐng)略中外數(shù)學(xué)家的風(fēng)范，更重要的是：接受數(shù)學(xué)家們那種不畏艱難險(xiǎn)阻，刻苦鉆研，努力拼搏的精神的熏陶，同時(shí)學(xué)習(xí)古今數(shù)學(xué)思想，從數(shù)學(xué)界名人名言中了解數(shù)學(xué)的真諦。這些都有助于對(duì)數(shù)學(xué)概念、方法和原理的理解和認(rèn)識(shí)的深化，無(wú)疑對(duì)提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣很有益處，而興趣一向被認(rèn)為是接受新知識(shí)、新事物的最好的老師。讀讀數(shù)學(xué)史，了解數(shù)學(xué)家所經(jīng)過的艱苦漫長(zhǎng)的道路，看看數(shù)學(xué)家在科學(xué)的道路上如何跌跤，又如何爬起來(lái)，如何在重重迷霧中摸索前進(jìn)，并且如何零零碎碎的積累出他們的豐碩成果，會(huì)使你獲得一些真知灼見，會(huì)增強(qiáng)你的自信心，會(huì)增強(qiáng)你的毅力，這對(duì)以后的學(xué)習(xí)和工作都有好處。

接受數(shù)學(xué)教育，不僅僅是掌握一些數(shù)學(xué)知識(shí)，而且還有助于改變?nèi)说乃季S模式，使之導(dǎo)向理性思維模式，也就是邏輯的、縝密的思維模式，也有助于改善人的審美視覺和表達(dá)方式，使人的整體素質(zhì)得以提高。

數(shù)學(xué)是數(shù)字、變量、符號(hào)、規(guī)則排列的舞蹈，是點(diǎn)、線、面、體組合的畫卷，只要用心認(rèn)真去學(xué)習(xí)，做到眼動(dòng)、耳動(dòng)、手動(dòng)、腦動(dòng)并用，開開心心地學(xué)，就不會(huì)覺得很困難。

參考文獻(xiàn)：

[1]查爾斯·桑德斯·皮爾斯，數(shù)學(xué)的本質(zhì)，1870.

[2]張景中，易南軒，數(shù)學(xué)美拾趣，科學(xué)出版社，2002.

[3]鄒瑾，楊國(guó)安，開心數(shù)學(xué)，哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2003.

[4]胡作玄，數(shù)學(xué)與社會(huì)，湖南教育出版社，1991.

[5]胡作玄，鄧明立，大有可為的數(shù)學(xué)，河北教育出版社，2006.

[6]M·克萊因，古今數(shù)學(xué)思想（張理京，張錦炎等譯）. 上海科學(xué)技術(shù)出版社，2002.

作者簡(jiǎn)介：

張慧（1959-），女，陜西人，陜西科技大學(xué)副教授，從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究。