如何在解中考題時“撥開烏云見明月”

徐亞飛

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）10-0130-01

面對題型眾多的中考試題，我們往往眼花繚亂，給人無法下手的感覺。殊不知很多情況下，許多題目都是換湯不換藥，只要能靜下心來，我們都可以從復雜多變的題型中找到基本題型。在這里僅探討復雜圖形中存在的直角三角形的判定。直角三角形是比較特殊的基本圖形，它的邊和角都具有特殊的性質，如邊的關系（勾股定理）、角的關系（兩銳角互余）、邊角關系（銳角三角函數）等，因而直角三角形在初中數學中占有舉足輕重的地位。如何來判定一個三角形是否為直角三角形呢？在初中階段，涉及的判定方法有很多種。如：①三角形中有兩角互余；②勾股定義的逆定理；③三角形一邊上中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形；④等腰三角形的三線合一；⑤相似（和一個已知的直角三角形）；⑥垂徑定理；⑦切線的性質……，這幾年南通市對這個考點的考查度越來越高了。下面我就羅列了南通市近兩年中考中，涉及到直角三角形（垂直）的一些題目，供大家參考。

例1（2011·南通·第8題）：如圖，⊙O的弦AB=8，M是AB的中點，且OM=3，則⊙O的半徑等于【 】

A.8 B.4 C.10 D.5

本題需利用垂徑定理，證得OM⊥AB，進而由勾股定理得解。

例2（2012·南通·第22題）：如圖，⊙O的半徑為17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圓心O位于AB、CD的上方，求AB和CD間的距離。

本題考查的實際上還是垂徑定理的應用，仍然是構造直角三角形來解決，類似于2011南通市的第8題，但本題是解答題，故要注意書寫格式，尤其是輔助線的作法。這里介紹一種作法：連接OA、OC，過點O作OE⊥AB，延長OE交CD于F?！逜B∥CD，∴OF⊥CD。在這里OF⊥CD不是通過輔助線作出來的，而是在前面輔助線作法的基礎上，證明得到的，相信這種方法大家在平時解題時，一定遇到過不少。

其實，本題還是比較簡單的。如果出題者沒有給出如圖所示的圖形，那么本題的難度系數將會上升一個檔次，要考慮AB、CD位于原點的兩側，解題思路不變。

例3（2011·南通·第26題）：如圖1，O為正方形ABCD的中心，分別延長OA、OD到點F、E，使OF=2OA，OE=2OD，連接EF.將△EOF繞點O逆時針旋轉a角得到△E1OF1（如圖2）。

（1）探究AE1與BF1的數量關系，并給予證明；

（2）當a=30°時，求證：△AOE1為直角三角形。

第二問就是直接證明△AOE1為直角三角形。題目中能直接用的條件只有∠AOE1=60°及OE1=2OA，在中考閱卷的時候發現很多同學由OE1=2OA，直接得出∠AE1O=30°，進而推出了E1A⊥AO，顯然掉進了出題者所設的陷阱。

那該如何證明呢？首先我們把復雜圖形簡單化，把△AOE1單獨提煉出來，圖形清晰了，思路也就更容易出來了。這也是我們處理復雜幾何圖形常用的方法之一。

方法有很多種。這里介紹幾種常見的方法：

方法一：取OE1的中點G，連接AG?！逴E1=2OA，∴OG=OA。又∠AOE1=60°，則有等邊△AGO，∴GA=GO=GE1，∴E1A⊥OA。

方法二：過點A作AH⊥OE1于H。在RT△AHO中，∠O=60°，∴∠HAO=30°，∴OA=2OH，又OE1=2OA，即■=■，又∠O=∠O，∴△AE1O∽△HAO，∴∠E1AO=∠AHO，即E1A⊥OA。

方法三：延長OA到點M，使AM=OA，連接ME1?！逴E1=2OA，∴OE1=OM，又∠AOE1=60°，∴等邊△E1MO。由三線合一，可得E1A⊥OA。

本題還有很多其他方法，在此不再一一贅述。有意思的是，2012年南通市中考試卷的第26題也考到了類似的知識點，可見該知識點的重要性。

例4（2012·南通·第26題）：如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，點E在邊BC上，點F在邊CD上。

（1）如圖1，若E是BC的中點，∠AEF=60°，求證：BE=DF；

（2）如圖2，若∠EAF=60°，求證：△AEF是等邊三角形。

對于第一問，是一道可以從多角度來思考的題目，我們有多種思路去證明BE=DF，如：可通過△ABE≌△ADF來證明（可從這個角度來思考，但不一定可行）；或證CE=CF，即通過證等腰△CEF來解決；亦可證F是CD的中點。對于多條路在我們面前，我們該如何來解決呢？這也是學生在解題時常常遇到的問題。這時，我們可改變解題思路，由從結論出發，轉變成從條件出發，即從“執果索因”轉變成“由因導果”。

方法一：由條件可知：∠B=60°，且BA=BC，所以可以連接AC構造等邊△ABC，由E是BC中點，可得：AE⊥BC（三線合一），進而可得∠FEC=30°，又∠C=120°，所以△CEF為等腰三角形，CE=CF，∴BE=DF。

方法二：因為BE=■BC=■AB，又∠B=60°，所有可以猜想到∠BAE=30°，即AE⊥BC，但這種證法的易錯點就是：不能由BE= =■AB，直接證得∠BAE=30°。如果從這個角度來考慮，不就和2011年南通市數學中考試卷第26題的第二問一樣了嗎？

對于第一問，我雖然給出了兩種證明方法，我們細細推究，不難發現，這兩種方法實質上是一樣的，都是從∠B=60°出發，構造等邊三角形，最終的目標都是要證到AE⊥BC，進而解決問題。所以本題看似求證兩條線段相等，實質上還離不開證直角三角形。當然本題肯定還有其他解法，在此不一一展開說明。

通過對南通市近兩年中考試卷的研究，我們不難發現，判定一個三角形是直角三角形（或線段互相垂直）是近幾年中考考點中的一個熱點，但是我們只要能抓住題目的本質，相信大家在解題時，定能撥開烏云見明月。