基于廣義知識觀的數學課堂教學策略

周麗娜

【摘要】 廣義的知識可分為陳述性知識和程序性知識兩大類，陳述性知識以命題和命題網絡表征，程序性知識以產生式和產生式系統表征，整塊的知識以圖式表征.根據廣義知識的表征特點，選擇的數學課堂教學策略是：構建網絡化的認知結構，精致練習，有意識地教學策略性知識.

【關鍵詞】 廣義知識；陳述性知識；程序性知識；教學策略

數學知識包括：數學的概念和原理（包括性質、法則、公式、公理、定理等），由內容所反映的數學思想方法，按照一定程序與步驟進行運算、處理數據、推理、作圖、繪制圖表等數學技能.其中數學概念、數學原理對應于陳述性知識，數學思想方法和數學技能對應于程序性知識，其中數學技能對應于智慧技能，數學思想方法對應于策略性知識.

一、構建網絡化的認知結構

網絡化的認知結構是指儲存于學生頭腦中的、由子系統網絡編織成一張龐大、嚴密、有序、立體的數學知識網絡.它不僅含有知識點的網絡結構，而且含有解決問題的方法與步驟等交織在一起的“圖式”.現代認知心理學的研究表明，當知識以一種層次網絡的方式進行排列時，就可以大大提高知識的檢索效率，越居于高層次的節點，其抽象水平越高，適應范圍越廣，容量也越大，因而具有更大的遷移性，從而達到舉一反三的效果.那么，在數學教學中，怎樣幫助學生構建網絡化的認知結構？

在知識點的教學中，不僅要讓學生學懂一個知識點，而且要了解這個知識點所處的“環境”，就是前后、左右、上下的內容﹒例如，異面直線所成的角，它的前面內容是兩條相交直線所成的角，后面內容是直線和平面所成的角，上、下內容是異面直線的定義和異面直線之間的距離，左、右內容是用平面幾何中的角來刻畫異面直線所成的角和怎樣作出、求出異面直線所成的角.重視知識點的“環境”，使各個知識點的位置得到合理的分布，當提取一個知識點時，相關的一些知識點也被激活.學習了多個知識點后，要指導學生進行“點”“線”加工.例如，學習了“函數及其表示”后，指導學生編織這部分內容的結構圖：

使這些知識點的關系更加完善和牢固，從而形成知識網絡系統中的子系統.

在單元復習課的教學中，通過“由理到題”（即按本單元的概念法則原理，逐一舉例）或“由題到理”（可通過解題，總結本單元的概念法則原理）的復習方式來引導學生對已學知識的回顧，在此基礎上，放手讓學生通過建構網絡化的知識結構將該單元的知識點科學地、有序地、有機地聯系起來，以充分體現各知識點承前啟后、上下呼應、左右逢源的關系.

最后，通過一章一小結、一本書一中結、高三復習一大結的系統化復習，把各個已編織的子系統編織成更龐大、嚴密、有序、立體的數學知識網絡來存儲于學生的頭腦之中.

布魯納在《教育過程》中指出：“獲得的知識，如果沒有完滿的結構把它聯在一起，那是一種多半會被遺忘的知識.”這就告訴我們，知識只有構成網絡化的認知結構，才會使學生準確而牢固地記憶.那么，他在問題解決時，就會在長時記憶中便于激活和提取，就會有計劃和有謀略地思維和解決問題.相反，如果教師在教學中孤立地教學知識點，不考慮知識之間的聯系，不引導學生進行知識網絡的構建，那么學生學習的是一套死板的知識，這樣的學習是盲目、低效的學習.

二、精致練習

根據認知心理學的研究，有效的問題解決通常要依賴基本技能成分的自動化，自動化的基本技能可以不占用學生有限的工作記憶空間，因而能將更多的注意力放在諸如計劃、監控這樣的高水平技能上.所以，數學教學要促進基本的數學技能的自動化.那么知識在頭腦中構成了網絡層次，怎樣才能促進知識達到熟練的自動化程度？唯一的辦法就是在教師指導下進行精致練習.所謂精致練習，是指具有良好的動機、接受有意義的反饋及仔細地不斷地指導與監督下的數學練習.精致練習能使“產生式”達到較高的“觸發”強度，促進數學技能的自動化.實施精致練習的途徑主要有：

1. 樣例效應

樣例效應是指從具有詳細解答步驟的事例中歸納出隱含的抽象知識來解決問題.樣例提供了問題解決的正確范式，如規則的功能、適用條件以及在具體情境中的操作，它減輕了學生的認知負荷，提高了數學學習的效率，在教學中教師要引起足夠的重視.例如，在指數函數和對數函數性質的應用中都有比較兩個數大小的例題，教學中，可以讓學生自己從課本例題的具體解答中總結出解題模塊，即：

解題模塊是學生在自己頭腦里對某類數學問題解決方法的結構.解題模塊不但具有操作性，還體現了數學的本質，反映了背后的數學思想方法，使學生享受數學的結構美，再經過適當的練習，它在學生的工作記憶中就會以一個自動化的圖式來處理，也就是說學生獲得了自動化的圖式，從而促進了數學技能的自動化和解題能力的遷移.

樣例效應改變了學生被動接受知識的地位，極大地調動了學生的數學學習積極性，學生通過對例題解答的詳細分析，萃取抽象性知識，把握規律性認識，再應用于問題解決，實質上也促進了學生經歷建構主義的生成性體驗，這樣的學習是有意義的.

2. 變式練習

“變式”是在保持一事物本質屬性不變的前提下，通過變換它的非本質屬性，來突出它的本質屬性的一種思維方式.“變式”一般有概念性變式和過程性變式.概念性變式是利用概念變式和非概念變式揭示數學概念的本質屬性和非本質屬性，使學生獲得對數學概念的多角度理解，進而建立新概念與已有概念的本質聯系.過程性變式的主要教學含義是在數學活動過程中，通過有層次的推進，使學生分步解決問題，積累多種活動經驗.變式練習不僅可以提供多角度的理解，還可以提高練習的新鮮感和雙基的靈活性.

變式練習的核心是“變”，而“變”的精髓和價值，則在于弄清“為何要變”“如何去變”“往哪里變”的過程.變式練習已為我國廣大數學教師所熟悉，但在具體的數學變式練習教學中，教師不僅要使學生弄清“為何要變”“如何去變”“往哪里變”，而且要有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探索“變”的規律.

3. 嵌入式訓練

嵌入式訓練是指在學生初步掌握“雙基”后，把它們結合到各種問題情境中去，這有助于三種記憶信息——陳述性記憶、產生式和目標層級之間的聯結.在嵌入式的訓練中，教師應精心設計例習題的典型性和層次性，注意問題的開放性、應用性和綜合性，并注意設計問題串，把各種同類問題串聯起來，使學生形成一個比較清晰的線索，一個比較完整的結構，還要注重解題通法，及時讓學生總結解題規律.通過嵌入式訓練，形成數學題的解題技巧，加深對數學知識的理解，并培養學生的數學思維和數學意識.

數學技能只有經過精致練習，才會達到自動化而無須監控，這樣才可能有力地促進新任務的學習，但這并不等于說，練習的次數越多越好，過多的練習是一種浪費，有時還有害，甚至還可能扼殺創造性.

三、有意識地教學策略性知識

策略性知識是學習者個人調控自己的認識活動以提高認知操作水平的特殊的高級智慧技能.認知策略水平高，知識就容易發生正遷移.因此，數學教學的核心任務就在于學生習得與學會應用數學的策略性知識.

策略性知識是隱性的，也不能自發產生，只有有意識教學才能為學生掌握.所謂“有意識”，就是對數學教學的過程進行精心設計，將凝結在數學內容中的數學家的觀察、試驗、歸納、概括、邏輯推理與證明等思維活動打開，并設計一定的載體（如教學情境、教師講解、學生探究和反思、變式訓練等），用以展開這些數學思維活動，從而使策略性知識得以滲透和提煉.在教學中，教師要重在引導學生主動地用眼看、用腦想、用手做，努力提供機會讓學生在他們自己的水平上感悟.

例如，“對數的運算”這節課的教學設計（教學實錄片段）：

師：前幾節課我們學習了指數與指數冪的運算，還有對數的概念.今天你們準備研究什么內容？你打算怎么樣去研究呢？（類比引入）

生：我想，與研究指數一樣，先概念后運算，接著應該研究對數運算吧！

師：好，你想研究的具體內容是什么？

師：好，我們先研究logaM + logaN = ？大家想一想，等式logaM+logaN = loga（M+N）成立嗎？

生：不一定.

師：為什么？

生：如果取特殊值a = 10，M = 1，N = 1就可知道.

師：噢，是用特殊化方式去思考，很好！那么logaM + logaN應該等于什么？你有什么好的研究套路嗎？

生：從一般退到特殊，先從特殊入手.你不是經常要我們這樣研究的嗎？

師：很好！下面就請同學們自己去研究.

生獨立思考，自行探究.

師：請大家說說自己的研究成果吧！

生：我的猜測是：logaM+logaN = loga（M·N）.

師：說說理由.

生：考慮常用對數.

若M = 1，N = 10，則lg1 + lg10 = 0 + 1 = lg（1 × 10）；

若M = 10，N = 100，則lg10 + lg100 = 1 + 2 = lg（10 × 100）；

若M = 100，N = 1000，則lg100 + lg1000 = 2 + 3 = lg（100 × 1000）；

……

猜想：logaM + logaN = loga（M·N）（a > 0且a ≠ 1）.

師：接著我們該怎么辦？

生：證明猜想結論.

師：好，我們來分析證明的思路.

以上的教學過程，其滲透的是化歸、類比、特殊化、一般化、歸納猜想證明等重要的策略性知識.因為能提高人的學習記憶和思維效率的策略是無數的，雖然某些簡單的策略可以很快地學會，但大部分策略的學習是不能立竿見影的，所以認知策略的訓練是長期、反復和螺旋上升的.在教學過程中，教師要注意強調策略在數學學習中的作用，要讓學生明白，優良的數學成績是正確應用策略的結果，來激勵學生學習策略的主動性.

結束語：知識在頭腦中儲存，只有做到有條不紊地結合成知識網絡，能夠熟練自動形成技能并擁有掌握調節與控制自己認知過程的策略性知識，才能形成良好的認知結構，才能在解決問題過程中有效地提取和應用這些知識，使知識有效地向能力轉化.

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