巧學一次函數

張坤山

摘 要：一次函數的概念、圖像、性質、應用以及與其它數學知識的聯系。

關鍵詞：一次函數 概念 應用

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）04（a）-0086-01

函數是一種數學思想，也是一種雙向方法，比較抽象。想學好一種函數，要從定義、圖像、性質、應用和其他數學知識的聯系五個方面學習。結合教與學，對一次函數做如下總結。

1 概念

形如y=kx+b（k、b是常數，k≠0）的函數叫做一次函數。kx+b是關于自變量x的一次式，故叫一次函數。象y=2x-1，y=-0.3x+5，y=100x等都是一次函數，而y=2x2-3x，y=1/x等都不是一次函數。另外一次項系數k不能為零，而常數b可以為零。

2 圖像

（1）圖像：一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像是經過（0，b）、（-b/k，0）的一條直線。它與y軸交于（0，b），與x軸交于（-b/k，0），因此，一次函數y=kx+b（k≠0）也叫做直線y=kx+b（k≠0）。另外，結合實際問題，一次函數的圖像也可能是一條射線、一條線段或是一些點，這是由函數的定義域決定的。

（2）系數與圖像位置的關系（見表1）。

3 性質

（1）當k>0時，y隨x的增大而增大，簡稱增函數，直線在坐標系中是左低右高。例如，直線上兩點p1（x1，y1）、p2（x2，y2），當x1>x2時，y1>y2。

（2）當k<0時，y隨x的增大而減小，簡稱減函數，直線在坐標系中是左高右低。例如，直線上兩點p1（x1，y1）、p2（x2，y2），當x1>x2時，y1

4 一次函數與其它知識的聯系

（1）與一元一次方程的關系。

求關于x的方程ax+b=0的解和當x為何值時，一次函數y=kx+b（k≠0）的值為零是同一個問題。①從數的角度看，函數值y為零時的自變量x的值就是方程ax+b=0的解；②從形的角度看，直線y=kx+b（k≠0）與x軸的交點橫坐標就是方程ax+b=0的解。

（2）與一元一次不等式的關系。

解關于x的不等式ax+b>0（ax+b<0）和當x為何值時，函數y=kx+b（k≠0）的函數值y>0（或y<0）是同一個問題。①從數的角度看，函數值y>0（或y<0）對應的自變量的取值范圍就是不等式ax+b>0（ax+b<0）的解集；②從形的角度看，直線y=kx+b（k≠0）在x軸上方（或下方）的部分所對應的自變量的取值就是不等式ax+b>0（ax+b<0）的解集。

（3）與二元一次方程（組）的關系。

一個二元一次方程就是一個一次函數；一個一次函數就是就是一個二元一次方程，二者本質是相同的。方程y-ax=b的每一個解對應的點在直線y=kx+b（k≠0）上，而直線y=kx+b（k≠0）上的每一個點的坐標都是方程y-ax=b的解。①從數的角度看，兩個一次函數的值相等時的x、y的值就是對應的方程組的解；②從形的角度看，兩條直線的交點的坐標就是對應方程組的解。

5 一次函數的應用

（1）建立一次函數模型，解決象課題學習中節約費用、調配方案、方案選擇等問題。象這次月考中的24小題，A、B兩所學校在一條東西走向公路的同旁，以公路所在直線為x軸建立平面直角坐標系，且點A的坐標是（2，2），點B的坐標是（7，3）。一輛汽車由西向東行駛，在行駛過程中是否存在一點C，使C點到A、B兩校的距離之和最小，如果有請用尺規作圖找出該點，保留作圖痕跡，并求出它的坐標。要解決這個問題，先要根據軸對稱作出點A（或點B）關于x軸的對稱點A′，并求出坐標，根據兩點式求出直線A′B的解析式，最后求出直線A′B與x軸的交點坐標即可。

參考文獻

[1] 劉增利，主編.倍速學習法：8年級數學（上）（人教版）[Z].

[2] 薛金星，主編.金星教育系列叢書·中學教材全解：8年級數學（下）（配套人民教育出版社教科書）[Z].