反函數(shù)教學過程中的一些思考

杭紅霞

【摘要】反函數(shù)是數(shù)學教學中的一個重要的基本概念，本文就教學過程中反函數(shù)的定義和反函數(shù)的圖像及交點的情況做了相關(guān)觀點的闡述.

【關(guān)鍵詞】反函數(shù)；定義；圖像；交點；思考

反函數(shù)是數(shù)學教學中的一個重要的基本概念，它是學習對數(shù)函數(shù)及反三角函數(shù)的基礎(chǔ).在高職數(shù)學中，其相關(guān)教學內(nèi)容雖不多，但既是重點又是難點.下面就在教學過程中反函數(shù)的定義和圖像及交點三方面談談相關(guān)注意點.

一、關(guān)于反函數(shù)的定義

1.高職教材中關(guān)于反函數(shù)的定義要比其他數(shù)學論著上的定義通俗、簡明，但學生還是難于接受.比如，講到函數(shù)y=f（x）（1），x=f-1（y）…（2），y=f-1（x）…（3）三者間關(guān)系時，部分學生錯誤地認為只有（3）式才是函數(shù)（1）的反函數(shù).又如，在講到函數(shù)y=x2，在定義域R內(nèi)沒有反函數(shù)，如果將函數(shù)的定義域限制為x≥0，那么它就有反函數(shù)y=x.有的學生就迷惑了，怎么一會兒說沒有，一會兒又說有了呢？這兩個困惑的認識，都處于學生沒有弄清確定函數(shù)的兩個要素的基本概念.前者，把（2）（3）看成是兩個不同的函數(shù)了，學生沒有認識到（2）（3）盡管所使用的表達字母不同，但由于確定函數(shù)的兩個要素——定義域和對應關(guān)系沒有改變，因此，它們依然是同一個函數(shù).也就是說，（2）（3）都是函數(shù)（1）的反函數(shù).后者，學生沒有注意到，其實這已經(jīng)是兩個不同的函數(shù)了.前一個函數(shù)的定義域是實數(shù)R，后一個函數(shù)的定義域是非負值對應，所以，函數(shù)y=x2在指定定義域x≥0內(nèi)就有反函數(shù)y=x.因此，在引入反函數(shù)定義前，教師應指導學生復習確定函數(shù)的兩個要素及反函數(shù)對應的概念.

2.反函數(shù)定義中已指出：（1）什么樣的函數(shù)才有反函數(shù)；（2）求反函數(shù)的步驟；（3）互為反函數(shù)的函數(shù)定義域和值域間的關(guān)系.但如何判定所給函數(shù)是否有反函數(shù)，學生是比較困難的.對給出的函數(shù)，首先要判斷它的對應關(guān)系是不是一一對應，如果是一一對應，那么就有逆對應，這個逆對應所確定的函數(shù)，就是原來函數(shù)的反函數(shù)，但一一對應、逆對應等概念比較抽象，應多舉例題或借助于圖形來講清概念.

3.由已知函數(shù)求其反函數(shù)，教師在講解例題時，應強調(diào)書寫步驟.應使學生牢牢記住，只有反對應是單值的函數(shù)才有反函數(shù)，這樣學生就易于接受求反函數(shù)的一般方法了.

二、互為反函數(shù)圖像間的關(guān)系

三、互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖像的交點情況

我們通常是要借助于《幾何畫板》這一畫圖工具來畫出精確的圖像.通過研究參數(shù)的范圍，可以得到指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)交點的幾種情況，并通過《幾何畫板》作出精確的圖像加以驗證.