高等數學函數一致性連續性問題研究

孫健

【摘要】高等數學函數在目前的研究當中，出現了一些問題，在一致性和連續性的研究當中出現了一些分歧.連續函數是數學分析當中，著重討論的一類函數，對深入研究具有非常重要的作用，而函數的一致性對日常教學和高等數學的進步來說，也能夠起到較大的推動作用.在學習數學分析的時候，多數人都會將函數的連續性與一致性混淆，導致學習人員僅僅能夠理解淺層意思，而不了解深層含義，甚至無法學習后續的知識，因此，對高等數學函數一致性連續性問題研究，還是非常有必要的.

【關鍵詞】函數；連續性；一致性

連續函數對揭示自然界連續變化的現象有很重要的作用，比方說氣溫的連續上升或者下降，距離的連續增加等等，它們如果用數學的抽象方式來表達，就是連續性函數.從客觀的角度來說，利用高等數學函數的連續性來解決問題，會更加準確，并且能夠找到根本原因.從連續性派生的一致連續性，更是函數性質從其局部到整體上的拓展性，使研究的函數性質更加深入，更加全面.高等數學的復雜程度較高，在研究一致性連續性問題的時候，除了要避免混淆以外，還要不斷地探索二者之間的聯系以及各項作用，將高等數學函數的連續性和一致性更好地利用，而不是一味地在理論上研究.在此，本文主要對高等數學函數一致性連續性問題進行研究.

一、高等數學分析中函數一致連續的概念的理解

函數的一致連續性體現了一個連續函數的變化速度有無“突變”.相對來說，函數的變化既有規律可循，同時也無規律可循.高等函數在一定程度上可以通過定義或者數學函數式來尋求結果.但是，部分函數由于自身的性質比較特殊，因此不具有意義.函數連續一致性不僅僅體現在區間上的每一點，同時還要在區間上所有點鄰近點的函數的大致變化趨勢要均勻.這就是理論上的函數一致連續性.下面，本文從兩個方面來討論一下高等函數的一致連續性.

（一）定義1

高等數學分析中函數一致連續的概念過于理論化，如果沒有實際的證明，勢必得不到認可，并且無法在實際的工作當中產生較大的積極作用.經過長久的研究和積淀，數學家將高等數學函數一致連續分為兩個定義.定義1：（假設函數f（x）在區間I上連續）區間為I上的f（x）函數，如果ε>0，那么函數上的每一個點x∈I，由此可以推理出，函數區間上的每一個點都存在相應的δ=δ（ε，x）.從以上的定義來分析，只要x∈I，并且|x2-x1|<δ，就能夠推導出|f（x1）-f（x2）|小于ε.最后得出的結論為：函數f（x）在區間I上顯示出連續的狀態.從定義1來看，高等數學函數一致連續性需要符合區間和數學式上的要求，并且按照一定的規律來存在.

（二）定義2

相對來說，高等數學函數一致連續性不僅僅具有一種性質或者一種定義，而是能夠通過兩種或者是兩種以上的定義、性質來表達.定義1是教學和研究常用的定義，并且對高等數學函數一致連續性問題的研究，產生了較大的積極意義.下面，本文就定義2進行闡述.定義2：此定義也被稱為一致連續性的定義.在區間I上定義的f（x）函數，如果對ε>0，并且存在δ（且δ>0），在此范圍內的任意x（x∈I），只要符合|x1-x2|小于δ，那么就可以推導出|f（x1）-f（x2）|<ε，那么區間I上的函數f（x）一致連續.

（三）歸納

從以上的闡述來看，一致連續概念與連續概念當中的δ并不一樣，可以通過很多的例子來說明.當函數f（x）在區間I上擁有一致連續性的概念時，可以通過相應的例子來引出.通過不同的例子和不同的定義，學生和教師在學習、研究高等數學函數一致性連續性問題的時候，就能夠對δ的取值方法更加清楚，同時也可以對高等數學函數一致性連續性問題更加深入地理解和學習.我們在研究和分析高等數學函數一致性連續性問題的時候，應該從兩個定義出發，因為具體的數學式和具體的表達含義是不同的，在實際當中的應用范圍也不一樣.為了保證能夠更好地利用函數，同時在深入研究的時候，減少混淆和不必要的問題發生，必須對函數連續一致性的其他方面進行研究，獲得更多的規律和知識.

二、函數連續一致性條件

“條件”在函數的研究當中，具有非常重要的影響和意義.簡單來說，“條件”就是保證高等數學函數一致性連續性問題具有研究意義的保障.函數連續一致性要想能夠繼續研究下去，并且能夠對實際的工作產生意義，就需要依賴條件來進行.從目前的研究情況來分析，函數連續是函數一致連續的必要條件，但不是充分條件，是一種在自然情況下，推出的結論.由此可見，高等數學函數一致性連續性問題的研究，“條件”的研究是非常重要的方面.根據G康托定理，區間連續性要想轉變為區間一致連續性，一共有兩種情況，同時這兩種情況是目前都能夠滿足的.第一，區間存在界限，但是并不是完全為閉區間，一致連續性的點可能被開的端點所破壞.這種情況是一種比較普遍的情況，同時是研究“條件”的重要方式.第二，區間的兩個端點或者一個端點的取值為正無窮的時候，函數的一致連續性也可能被函數在無窮遠處所破壞.在這種情況下，我們就要附加一些條件，比方說在函數一致連續性的開的端點或者無窮遠點破壞點處加上一些限制性的條件，讓無意義的函數不成立，從而可以繼續推導.“條件”的研究并不是依靠一兩個數學式就能夠確定的，即便是現在只有兩個方面，難保日后不會有更多的方面，所以還要加深研究才行.

總結：本文對高等數學函數一致性連續性問題進行了一定的研究，從目前的情況來看，高等數學函數一致連續性的相關問題并沒有得到徹底的解決，雖然一些小問題沒有影響到學生的學習，但后續的研究工作必須將其解決，盡量通過完善的研究方式和推導方式，將高等數學函數深入推理，得到更好的結論.

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