映“數(shù)”“形”花別樣紅

金明

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，數(shù)學(xué)探索需要通過思維來(lái)實(shí)現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn)，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個(gè)切入點(diǎn)。而數(shù)形結(jié)合思想貫穿了整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程，它的地位和作用可見一斑。數(shù)形結(jié)合將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來(lái)，有效地相互轉(zhuǎn)化，一些看似無(wú)法入手的問題就會(huì)迎刃而解，產(chǎn)生事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；思維；數(shù)學(xué)素質(zhì)教育；滲透；數(shù)學(xué)思想方法；切入點(diǎn)

進(jìn)入初中學(xué)習(xí)后，幾乎每一次數(shù)學(xué)考試結(jié)束后，總有學(xué)生會(huì)說：某某題計(jì)算量好大，好繁瑣，算了很久都沒有得出答案，還影響了后面題目的完成。其實(shí)，有時(shí)候做題時(shí)換個(gè)思路，角度，也許這道題就很輕松地解決了，真有這樣神奇的方法嗎？答案是肯定的，數(shù)形結(jié)合的思想就是其中最為耀眼突出的“法寶”之一。

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事非。”講的就是數(shù)形結(jié)合思想的重要性。那么，什么是數(shù)形結(jié)合的思想呢？解決這個(gè)問題，首先我們得從“數(shù)”和“形”兩個(gè)基本概念入手。“數(shù)”與“形”反映了事物兩個(gè)方面的屬性。

所謂數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，數(shù)學(xué)探索需要通過思維來(lái)實(shí)現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn)，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個(gè)切入點(diǎn)。數(shù)形結(jié)合將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來(lái)，有效地相互轉(zhuǎn)化，一些看似無(wú)法入手的問題就會(huì)迎刃而解，產(chǎn)生事半功倍的效果。

既然解決數(shù)學(xué)問題時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想可以達(dá)到事半功倍的效果，那么在我們平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該如何來(lái)滲透數(shù)形結(jié)合的思想呢？下面筆者結(jié)合具體的實(shí)例來(lái)分析：

一、以“數(shù)”解“形”

在初中數(shù)學(xué)中，圖形是直觀的，這是“形”的優(yōu)點(diǎn)，任何事物集優(yōu)、缺點(diǎn)于一體，“形”也有缺點(diǎn)，它不是很精確，比如有時(shí)候有些圖形太過于簡(jiǎn)單，直接觀察卻看不出規(guī)律來(lái)，這時(shí)就要借助代數(shù)來(lái)分析計(jì)算。

例1.求直線y=x-1與拋物線y=x2+2x-2的交點(diǎn)坐標(biāo)。

分析本題，在平面直角坐標(biāo)系中畫出直線與拋物線的草圖，可以發(fā)現(xiàn)它們有兩個(gè)交點(diǎn)，在第三、四象限，但不確定點(diǎn)的坐標(biāo)，圖形很直觀，但不精確。那么怎么來(lái)求出交點(diǎn)坐標(biāo)呢？我們可以借助“數(shù)”。我們借助函數(shù)解析式，交點(diǎn)的坐標(biāo)都是滿足直線和拋物線的解析式，那么我們可把交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)看做是直線和拋物線解析式聯(lián)立的方程組的解，這樣我們就可以“數(shù)”解“形”了。所以，對(duì)于本題，我們的做法是：

聯(lián)立y=x-1

y=x2+2x-2得x-1=x2+2x-2，得x2+x-1=0，解此方程，求出對(duì)應(yīng)的y，交點(diǎn)就求出了。

本題的解決充分展示了以“數(shù)”解“形”，運(yùn)用代數(shù)可彌補(bǔ)圖形帶來(lái)的不足。

二、以“形”助“數(shù)”

從例1的解決中，我們體會(huì)到以“數(shù)”解“形”的“威力”，但是，心理學(xué)研究表明，學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)比純粹的文本（計(jì)算）更感興趣。我們來(lái)看這個(gè)例子：

例2.解不等式x-1≥-x2+2x+1。

由于初中沒學(xué)過解一元二次不等式，我們可用圖象法解決此問題，令y1=x-1，y2=-x2+2x+1，然后在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y1和y2的圖象，只要滿足函數(shù)y1在y2圖象上方對(duì)應(yīng)的x的范圍就是此不等式的解集，因此解此不等式得先求出函數(shù)y1與y2的交點(diǎn)（2，1）和（-1，-2），然后觀察圖象，得出結(jié)論：x≥2或x≤-1。

上述問題體現(xiàn)了以“形”助“數(shù)”的優(yōu)越性，把“數(shù)”的對(duì)應(yīng)——“形”找出來(lái)，利用圖形來(lái)解決問題，既直觀又簡(jiǎn)單，何樂而不為呢？

三、“數(shù)”“形”互變

例1和例2分別展示了“數(shù)”與“形”的優(yōu)勢(shì)，其實(shí)在解決實(shí)際問題中，很多數(shù)學(xué)問題中不僅僅是簡(jiǎn)單的以“數(shù)”解“形”或以“形”助“數(shù)”，而是需要“形”“數(shù)”互相變換。我們?cè)倏匆粋€(gè)例子：

例：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）開口向下，對(duì)稱軸為x=1，交于y軸正半軸，與x軸的交點(diǎn)（左邊的位于-1與0之間，右邊的位于2和3之間）。

①abc>0；②bm（am+b）（m≠1的實(shí)數(shù)），其中正確的結(jié)論有_____

對(duì)于①，即求a，b，c的符號(hào)，拋物線開口向下，a<0，以“形”助“數(shù)”；拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，即-■>0，結(jié)合a<0，所以b>0，既有以“形”助“數(shù)”，也有以“數(shù)”解“形”；拋物線與y軸交于正半軸上，c>0，以“形”助“數(shù)”。故①錯(cuò)誤。從①中就可以發(fā)現(xiàn)由“形”的直觀變?yōu)椤皵?shù)”的嚴(yán)密還要由“數(shù)”的嚴(yán)密聯(lián)系到“形”的直觀，即“數(shù)”“形”互變。

對(duì)于②，b0，c>0考慮，不能判斷，那么由“數(shù)”就要想到“形”了，只需做個(gè)簡(jiǎn)單的移項(xiàng)，即判斷a-b+c>0正確與否，利用“形”可以發(fā)現(xiàn)：a-b+c是拋物線在x=-1時(shí)的函數(shù)值，對(duì)照草圖，a-b+c<0，故②錯(cuò)誤，“數(shù)”“形”互變體現(xiàn)得淋漓盡致。

對(duì)于③，判斷a+b>m（am+b）（m≠1的實(shí)數(shù)）是否正確，如果純粹從“數(shù)”的角度考慮，似乎很難有結(jié)果，但如果兩邊同時(shí)加上c，即判斷a+b+c>m（am+b）+c（m≠1的實(shí)數(shù)）是否正確，結(jié)合“形”，a+b+c即當(dāng)x=1時(shí)的拋物線的函數(shù)值，即拋物線的最大值，而m（am+b）+c（m≠1的實(shí)數(shù)）是在拋物線任取一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）的函數(shù)值，顯然成立。本小題體現(xiàn)了“數(shù)”“形”互變的較高境界。

數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖象結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地滲透數(shù)形結(jié)合的思想，同時(shí)給學(xué)生足夠的時(shí)間與空間，學(xué)生定會(huì)給教師意想不到的精彩！

參考文獻(xiàn)：

潘海燕，何晶.教師怎樣進(jìn)行反思與寫案例和論文北京：中國(guó)輕工業(yè)出版社，2009-05.

（作者單位 江蘇省蘇州市太倉(cāng)市明德初級(jí)中學(xué)）

編輯 薄躍華