“倍的認識”教學片段與評析

馮桂群

“倍”這一數學概念比較抽象，二年級學生必須通過大量的感性材料及自身的動手操作、觀察思考、抽象推理等活動，才能實現對其真正理解與靈活建模。現擷取三個片段與大家共同分享。

片段一：游戲情境中鏈接引新，使學生學得主動而深刻

（課前談話介紹拍手有延長壽命、變得聰明、給人快樂等好處）

師：這節課就從拍手數數開始，行不行？聽，我拍了幾下？

生：3下。

師：如果把老師拍的3下畫出來，你想到畫什么？

生1：畫叉。

生2：畫小圓圈。

……

師：不管畫什么都可以，但是哪種簡便就畫哪種。你覺得畫什么比較簡便？

生1：畫圓圈。

生2：畫一豎非常簡便。

師：豎線、圓圈都很簡便。老師現在就來畫3個圓圈。

師：請你們再拍手6下。（生一起拍手）

師：如果讓你們上來畫，要畫幾個圓圈？

生：6個。

（師在黑板上畫完后讓學生一齊數出6個）

師：比較這兩個數，你覺得6和3之間有怎樣的關系？

生1：6是3的2倍。

師：真了不起，還可以怎么說？

生2：6比3多3個。

師：反過來可以怎么說？

生齊：3比6少3個。

師：這是說6和3相差3個。除了發現6和3的相差關系，我們還發現了什么？

生：2個3就是6。

師：反過來說6里面有——

生：6里面有2個3。

師：他說，6里面不多不少，正好有——

生齊：2個3。

師：伸出手，跟老師一起將2個3圈出來。

師：誰能拍拍手，讓人一聽就知道是2個3。（指名生拍）

師：拍3下快一點，中間停頓長些，就更好了。我們一起拍一下。（師生齊拍2個3）

師：6里面正好有2個3，我們就說6和3之間正好有2倍的關系。（板書：（ ）是（ ）的2倍）

師：想一想，6和3之間，誰是誰的2倍？同桌之間互相說一說。

生：6是3的2倍。（讓生齊讀這句話）

師：為什么說“6是3的2倍”？

生：因為6里面正好有2個3。

師：對，因為6里面正好有2個3，所以6是3的2倍。“倍”就是我們今天要認識的新朋友，它是專門用來表示兩個數之間關系的。想不想跟“倍”交朋友？誰來跟“倍”打個招呼？

生1：嗨，你好，“倍”！

生2：歡迎你，“倍”，我們來交個朋友吧！

師：想不想跟它交朋友？

生齊：想！

師：能不能跟“倍”交上朋友，就要看我們對“倍”的認識是不是深刻。想想看，還有哪兩個數之間有2倍的關系？

生1：2是1的2倍。

生2：10是5的2倍。

……

師：說得完嗎？

生：說不完。

師：好，我們繼續玩拍手游戲。

評析：課一開始，教師巧妙地將學生喜歡的拍手游戲引入課堂，并以“玩拍手游戲”這一情境串來組織教學，有效地吸引了學生的身心，體現了數學學習的趣味性。同時，又通過多個相關聯的問題情境，讓學生在情境中思考、建模，很好地體現了數學學習的思考性。如，通過如何將拍手的3下畫下來，培養學生的符號意識和

求簡思維；通過讓學生看圖說出6與3的關系，巧妙地激活兩數的相差關系，同時引出倍數關系并建立2倍的概念——6里面有2個3，6就是3的2倍。之后，又讓學生在類推中說出還有哪兩個數之間也有2倍的關系。此時，教師已巧妙地將具體數量間的倍數關系抽象為兩個數之間的倍數關系，從而進一步拓展了有關“2倍”概念的外延。在上述學習過程中，學生心動、情動、身動、思動，學得生動而深刻，使學生真正享受了“有營養又好吃”的數學。

片段二：有序操作中抽象建模，使學生學得生動而深厚

師：剛才我們通過拍手游戲初步認識了“倍”。為了能真正成為“倍”的好朋友，我們還要對它作進一步的認識。下面通過畫一畫、圈一圈來加深對“倍”的認識，好不好？

生：好！

師：拿出作業紙，我們來畫小棒并圈一圈。聽好要求：第一行畫2根小棒，第二行畫6根小棒。第二行小棒怎么圈，就能讓人一眼看出6是2的（ ）倍？

生：2個2個地圈，有3個2，6是2的3倍。

師：畫對的舉手，真好！下面來一個小棒多一點的，難一點的。聽好要求：第一行畫3根小棒，第二行畫15根小棒。動腦筋想一想，第二行的小棒怎么圈，就能一眼看出15是3的（ ）倍？

生：3個3個地圈，有5個3，15是3的5倍。

師：真能干！接下來的小棒更多：第一行畫8根小棒，第二行畫40根小棒。老師有一個要求：如果你不畫就知道了40是8的幾倍的，就不畫了。

生：40是8的5倍。

師：怎么想的？

生：40÷8=5。

師：為什么想到了用除法計算呢？

生：因為求40里面有幾個8，所以用除法。

師：對了，求40里面有幾個8可以用除法算。因為“倍”表示的是兩個數的關系，所以“倍”不是單位名稱，算式40÷8=5后面不要寫單位。

師：如果小棒的根數更多，能不能算出來？

生：能！

師：第一行8根小棒，第二行72根小棒。72是8的幾倍？

生：72÷8=9，72是8的9倍。

師：回到一開始我們所畫的3個圓圈和6個圓圈，要求6是3的幾倍，可以怎樣列式計算？

生：6÷3=2。

師：6÷3=2表示——

生齊：6是3的2倍。

評析：在建立有關“倍”的概念與算法過程中，教師能引導學生進行由直觀到抽象的有序操作活動，使學生真正經歷并體驗了有關“倍”的建模過程——先通過拍、畫、看、說，讓學生初步建立2倍、3倍的概念；接著通過圈小棒、說寫倍數關系，讓學生進一步明晰：一個數里面有幾個另一個數，這個數就是另一個數的幾倍。最后通過將小棒的根數變大，讓學生在自主求簡中自然而然地探索出求誰是誰幾倍的算法：求一個數是另一個數的幾倍，就是要看這個數里面有幾個另一個數，用除法算。

在以上建模過程中，教師有序引領學生經歷拍手掌、圈小棒、說思路、抽象出除法模型等數學學具操作、符號操作和言語表述的活動過程，將學生內隱的思維過程表征出來，使隱性的思維活動顯性化，讓學生在主動而有序的操作過程中經歷多次的抽象與推理，最終實現有效的建模，從而扎實有效地積累數學活動經驗，滲透抽象、推理、建模的數學基本思想和拍、畫、圈、算等逐步抽象化的數學方法，很好地體現了新一輪課標中有關落實“四基”的教學理念，使有活動和有思想的數學學習成為學生“成長的載體”，讓學生能帶走一輩子并終身受用。

片段三：變式練習中運用拓展，使學生學得靈動而深遠

師：圖1表示誰的人數是誰的5倍？

生：男生人數是女生的5倍。

師：看，現在呢？（指圖2）誰來完整地說一說？

生：男生人數是女生的3倍。

師：再看（指圖3），誰來說一說？

生：男生人數是女生的2倍。

師：再來看（指圖4），誰是誰的幾倍？

生：男生人數是女生的1倍。

師：女生人數和男生人數一樣了，“男生人數是女生的1倍”還可以怎么說？

生：女生人數是男生的1倍。

師追問：女生人數一直沒變，為什么男女生人數的倍數關系卻變了呢？

生：因為男生人數在變化，所以他們的倍數關系就變化了。

……

師：○的個數是△的3倍。你能畫圖表示這樣的關系嗎？想一想，有沒有不同的表示方法？看誰的方法最巧妙？說說你怎么畫的？

生1：圓畫9個，三角形畫3個。

師：同意嗎？掌聲送給她。還有不同的畫法嗎？

生2：圓畫3個，三角形畫1個。

師：還有不同的畫法嗎？

生3：圓形畫6個……

師：停，大家猜猜看，他的三角形畫了幾個？

生齊：2個。

師：假如三角形畫4個，圓形畫多少個？

生：12個。

師：假如圓形畫15個，三角形畫多少個？

生：5個。

師：觀察圖5這兩排數，發現了什么規律？

生：第一排數從小到大在變，第二排數也在變。

師：第一排的數每次多多少？

生齊：1。

師：第二排的數每次多多少？

生齊：3。

師：能發現什么是不變的嗎？

生：圓形個數總是三角形的3倍。

師：真好！那表示圓與三角形個數3倍關系的畫法有多少種？

生：無數種。

師：如圖6，老師用條形圖來這樣表示可不可以？

生：可以。

師：能簡潔點嗎？不畫長方形了，可以畫什么？

生：畫線段。

師：對，如圖7，可以用線段圖來表示。

師：請看：蘋果個數是梨的幾倍？先一起來數一數蘋果的個數。

生：1、2、3、4、5、6、7、8，8個。

師：梨被藏在藍色長方形的后面，猜猜看，梨有幾個？蘋果個數是梨的幾倍？

生：梨有4個，蘋果個數是梨的2倍。

師：好！再猜，梨還可以是幾個？（猜到有8個，2個，1個）

……

生：還可以是3個。

師：如果梨有3個，蘋果個數是梨的幾倍呢？

生：蘋果個數是梨的2倍多2個。

師：看一下，去掉2個，蘋果個數正好是梨的2倍，所以說——

生齊：蘋果個數是梨的2倍多2個。

師：那添上一個，蘋果個數正好是梨的3倍，但添上的這一個實際上是沒有的，所以說蘋果個數是梨的——

生齊：3倍少1個。

……

評析：在練習環節，教師安排了三個維度的變式教學。第一個維度是先出現男生人數是女生5倍的條形圖，然后3次變化男生人數的條形圖，讓學生感悟其中的規律：一份數不變，另一份數變了，兩個數之間的倍數關系就變了。第二個維度是出現“圓形個數是三角形的3倍”這一不變的倍數關系，讓學生在開放的思考空間想出多種具體的畫法，不僅再次讓學生感受數學學習中變與不變的規律，還巧妙地滲透了函數思想和數形結合的思想，并抓住時機及時地引導學生學會更抽象、更簡潔的數學化表征方式。第三個維度告訴學生蘋果8個，讓他們猜出梨的個數并說出蘋果個數是梨的幾倍。這里，學生的思維空間一下子被打開了，創造熱情空前高漲。學生不僅會想到梨的個數是1、2、4、8個，還想到可能是3個，等等。這樣就將兩種水果的倍數關系由整數倍拓展到幾倍多幾和幾倍少幾的情況，從而為后續學習打下伏筆，同時又溝通相差關系與倍數關系之間的聯系，實現了對兩數關系認識的整體建構，同時也很好地培養了學生的開放思維，彰顯了數學思考的迷人魅力。

◇責任編輯：徐新亮◇