數(shù)形雙向溝通在中學數(shù)學教育中的研究

作者簡介：王廠文（1964—），男，浙江衢州人，衢州學院教師教育學院講師，研究方向：數(shù)學教育。摘要： 數(shù)形雙向溝通的思想就是運用數(shù)的嚴謹和圖形的直觀，將數(shù)學邏輯與圖形語言結(jié)合在一起，將思維的抽象和圖形的直觀結(jié)合起來，通過對圖形的描述、邏輯的論證來研究和解決數(shù)學問題的一種數(shù)學思維方法。數(shù)形結(jié)合是中學數(shù)學教育中最重要的思想之一，它是連接數(shù)學中具體與抽象之間的紐帶，既提高了學生的解題思維能力，又為后續(xù)課程的學習打下了基礎。

關鍵詞：數(shù)形雙向溝通；數(shù)學教育；數(shù)學邏輯；認知結(jié)構(gòu)

新《數(shù)學課程標準》指出：“教師應激發(fā)學生學習的積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗。”在中學數(shù)學課程教學中，數(shù)與形是最基礎的兩個部分，在數(shù)學學習的過程中處處都是數(shù)字與圖形。

在日常數(shù)學的教學活動中，如果學生能夠?qū)⒊橄笏季S與直觀圖形結(jié)合起來，不僅能表現(xiàn)學生數(shù)學解題的能力，同時也能體現(xiàn)學生思維的發(fā)散性與跳躍性。數(shù)形雙向溝通思想不僅能夠拓寬教師和學生解決數(shù)學問題的思路，而且能夠?qū)碗s、抽象的數(shù)學問題簡單化、直觀化，因此，復雜難懂的數(shù)學題目也就變得簡單易懂了。

一、數(shù)形雙向溝通在中學數(shù)學教學中的意義1有助于學生正確理解數(shù)學概念

數(shù)學概念是數(shù)學邏輯的起點，是學生認知的基礎，是學生數(shù)學思維的核心。但是由于數(shù)學中的概念往往是高度抽象的，它給人一種單調(diào)、乏味、枯燥、難懂的感覺。因此，利用數(shù)形結(jié)合的思想可以幫助學生正確地理解數(shù)學概念。

（1）化抽象為具體，有利于數(shù)學概念的理解、記憶。利用數(shù)形雙向溝通，容易揭示數(shù)學概念的來龍去脈，學生易于感知和接受；有利于學生對知識本質(zhì)的理解；為概念賦予圖形信息，幫助學生利用圖形信息來理解、記憶概念及對相關性質(zhì)進行應用。

（2）發(fā)展和優(yōu)化學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)。數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是學者頭腦中的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，即數(shù)學知識結(jié)構(gòu)通過內(nèi)化在學者頭腦中所形成的觀念的內(nèi)容和組織。數(shù)形雙向溝通可以使學生的知識整體化、系統(tǒng)化，便于學生在各種知識背景下提取有用的信息，且能從“數(shù)”與“形”兩個維度去考慮解決問題。數(shù)形雙向溝通加強了知識與知識之間的相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，構(gòu)建了有效的知識網(wǎng)絡，優(yōu)化了學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)。通過數(shù)形雙向溝通使學生原有的認知水平得到了深化發(fā)展，使學生對知識的理解更加深刻、透徹。

2有助于拓展學生解決問題的途徑

（1）數(shù)形雙向溝通是解決具體問題的“向?qū)А薄?shù)形雙向溝通作為一種思維策略，雖然不能作為解答問題的具體方法，但可以作為尋找正確解法的一個思路及突破口，它使得學生不會拘泥于現(xiàn)有的方法和思維模式，具有積極的意義。

（2）有助于學生積累數(shù)學知識模塊，簡縮思維鏈。不同的學生對于同一問題的思維過程有長短之分，能力強的學生思維過程短，思維鏈的環(huán)節(jié)較少，而能力弱的學生往往表現(xiàn)出思維過程長，思維鏈多且無序。數(shù)形結(jié)合最大的特點就是模型化、直觀化，用簡單、直觀的圖形代替冗長的代數(shù)推理。學生的知識結(jié)構(gòu)中儲備有一些豐富的圖形模塊和數(shù)式模塊，在實際解題的過程中這些圖形模塊和數(shù)式模塊能夠幫助學生快速、準確地找出方法。

3有助于學生數(shù)學思維能力的發(fā)展

進入中學階段的學生已完成了由直觀形象思維到抽象邏輯思維的飛躍，但這并不代表在教學中教師就能夠偏重于某一種思維方式的教學。形象思維的培養(yǎng)在中學階段是不容忽視的，也是很重要的。數(shù)形雙向溝通的思想可以培養(yǎng)學生的多種思維。

（1）有助于幫助學生樹立形象思維。數(shù)形雙向溝通豐富了表象的儲備，而表象的運動過程可促進學生形象思維的發(fā)展。數(shù)形雙向溝通有助于培養(yǎng)學生對圖形的想象能力，促進學生形象思維的發(fā)展。

（2）有助于培養(yǎng)學生的直覺思維。運用數(shù)形結(jié)合解題能直接揭示問題的本質(zhì)，直觀地看到問題的結(jié)果，只需稍加計算或推導，就能得到確切的答案，因此許多數(shù)學問題的解答都是先從幾何形象的直覺感知中得到某種猜想、預感，然后再進行邏輯推理和證明，進而使問題得以解決。

（3）有助于培養(yǎng)學生的抽象思維能力。數(shù)形雙向溝通表面上看是代數(shù)與幾何之間的結(jié)合。任何的學習遷移都是通過概括這一思維過程來實現(xiàn)的。數(shù)形雙向溝通在應用的過程中，常常根據(jù)數(shù)量關系與圖形特征之間的聯(lián)系和規(guī)律，可以把一個形的問題轉(zhuǎn)化遷移到與之相應的數(shù)的問題，反之，數(shù)的問題轉(zhuǎn)化遷移到與之相應的形的問題。

4利用數(shù)形雙向溝通，喚起學生對數(shù)學美的追求

數(shù)學本身就是一門美的科學，數(shù)學上的對稱美、輪換美、簡潔美、和諧美、奇異美等形式在數(shù)學圖形上的體現(xiàn)更為直觀、動人。利用數(shù)形雙向溝通能培養(yǎng)學生審美情趣，經(jīng)受審美體驗，提高審美意識和審美能力，以激勵學生學好數(shù)學的激情、動力和追求解題的藝術(shù)美，促進學生素質(zhì)的全面提高。

二、運用數(shù)形雙向溝通應注意的問題1作圖問題

在同一坐標系中將幾個函數(shù)的圖像進行比較時，要注意函數(shù)圖像的延伸趨勢以及伸展“速度”。教學中展示的圖像僅僅是函數(shù)圖像的一小部分，而不是完整的圖形。這就需要教師引導學生從函數(shù)的部分圖像中去思考、發(fā)掘。對函數(shù)的發(fā)展趨勢和伸展形狀做出合乎邏輯的判斷，實現(xiàn)由直觀圖像到抽象性質(zhì)的銜接。

2定義域問題

定義域是自變量的取值范圍，實際過程中如果學生忽略了數(shù)學轉(zhuǎn)化過程的等價問題，那么自變量的取值范圍就有可能擴大或縮小了，因此，畫出來的圖像就會多出或者少了一部分，而通過對這樣不正確圖像進行分析，得到的結(jié)果往往也是錯誤的。所以，注意轉(zhuǎn)化過程的等價問題是關鍵環(huán)節(jié)，考查轉(zhuǎn)化過程是否等價，在得到相應結(jié)果后，再用另外的方法去進行驗證、檢查得到的結(jié)論是否正確。

3邏輯問題

“形”并不能完全作為證明的依據(jù)，在幾何證明過程中，除進行直觀分析外，還要進行代數(shù)邏輯的證明與計算，并用嚴謹?shù)臄?shù)學語言表達證明過程。應用數(shù)形結(jié)合時，“形”只是一種手段，一個工具，而不能成為理論依據(jù)。不論是怎么樣的題目，“形”只是我們思考問題的一種方式，只為解題提供一些幫助，只有給出嚴謹?shù)睦碚撘罁?jù)，得到的結(jié)論才有說服力。

數(shù)形雙向溝通是一個非常實用而且重要的方法，其應用性強。在實際解題過程中，不能完全依賴數(shù)形結(jié)合，因為它帶有濃厚的“猜測”色彩而不能給出嚴謹?shù)倪壿嬜C明。因此，需要客觀全面分析，發(fā)揮數(shù)形雙向溝通的長處，在突出直觀的同時，輔以嚴謹?shù)淖C明。

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