函數思想在高中數學解題中的應用

【摘 要】 函數思想是初等數學中的重要思想方法之一，是通過對問題建立函數模型，并利用函數的概念以及性質來解決問題的方法。函數思想在高中數學中起著橫向連接作用，是連接諸多知識點的紐帶。因此，高中數學教師在教學過程中必須有意識地滲透函數思想，以此來提高學生的思維品質，培養學生的數學建模能力，提高他們的解題速度。

【關鍵詞】 函數思想；高中數學；解題

函數思想是指對具體問題建立函數模型，然后用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題并最終解決問題。運用函數思想來解決數學問題，就是從量的關系入手去探求事物運動發展的規律，了解事物之間的具體聯系。

運用函數思想來解題需要將常量看成變量，將離散化為連續，根據實際問題的特征，構建一個相應的函數關系數學模型，將具體問題轉化為對輔助函數的研究。

函數思想始終貫穿于中學數學教材之中，高中數學教師在教學過程中應該有意識地將函數思想傳達給同學們。讓同學們意識到函數思想的實用價值，培養學生們的學習熱情，讓學生們能夠運用函數的思想去解決實際生活中的問題，提高他們的思維品質，以及構建數學模型的能力。

一、函數思想在解決方程問題中的應用

函數與方程雖然是兩個不同的概念，但二者之間卻存在著緊密的聯系。當一個函數關系能通過解析式的形式來表達時，這個表達式就可以看作一個方程；一個二元方程的兩個未知數之間如果存在著單值的對應關系，那么這個方程就可以被看作一個函數。一個方程的兩邊可以分別看成一個函數，而方程的解則是兩個函數圖像交點的橫坐標值。所以，在解決方程問題時可以運用函數思想。

例1：已知方程（x-a）（x-b）-2=0的兩根為m，n且m

A.m

解析：設f（x）=（x-a）（x-b）-2，g（x）=（x-a）（x-b）。將函數f（x）和g（x）的圖像畫在同一坐標系下，觀察圖像與x軸的交點則課得到答案A正確。

通過轉換思想，可以將方程問題轉化為二次函數問題，把問題轉換成求二次函數圖像與x軸交點位置的問題，可以使問題更加直觀，很方便的求得答案。

二、函數思想在解決不等式問題中的應用

函數知識涉及的知識面十分廣泛，要求學生對概念的理解，應用都達到相當嫻熟的程度，在解題過程中要善于深入挖掘題目中隱含的條件，要仔細觀察、深入分析，將不等式問題巧妙的運用函數性質來解決。

例2：已知不等式

對一切大于1的正整數都成立。求實數的取值范圍。

解析：令 ，則

，有f（n+1）>f（n）對一切大于或等于2的自然數成立。于是， 是數列{f（n），n∈N，n≥2}中的最小值。解不等式

運用該解法需要較強的觀察能力以及綜合分析能力。此外還要注意這里所設的函數的定義域是{n，n∈N，n≥2}，它是離散函數。

三、函數思想在解決數列問題中的應用

數列可以看成是一個定義域為正整數集的函數當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值，數列的通項公式則是相應函數的解析式。所以，可以運用函數思想來解決數列問題。

例3：在等差數列中，前n項為Sn，已知Sp=q，Sq=p（p、q∈N*且p≠q），求Sp+q

解析：該題的常規解法是用求和公式建立方程組，求出a1和d，進而求出Sp+q，但這樣計算的話十分復雜。如果能考慮到等差數列的前n項和是關于n的二次函數，而且沒有常數項。所以可以考慮建立目標函數 Sn=an2+bn（a，b為待定系數），可以使計算過程簡化。

設Sn=an2+bn（a，b為待定系數），則Sp=ap2+bp∴ap2+bp=q（1）

Sq=aq2+bq ∴aq2+bq=p（2），

由（1）-（2）整理得（p-q）[a（p+q）+b]=-（p-q）

∵p≠q即p-q≠0，a（p+q）+b=-1，又因為Sp+q=a（p+q）2+b（p+q）=（p+q）[a（p+q）+b=-（p+q），

所以Sp+q=-（p+q）

數列的本質是自變量為離散值的特殊函數，遇到函數問題時，教師要引導學生樹立將數列問題和函數緊密聯系到一起的思想。

四、函數思想在解決參數范圍問題中的應用

可以通過構造二次函數來求解變量的范圍

例4：已知實數a，b，c，d，滿足a+b+c+d=5，a2+b2+c2+d2=7，求a的取值范圍。

解析：構造關于x的二次函數

f（x）=（x-b）2+（x-c）2+（x-d）2=3x2-2（b+c+d）x+（b2+c2+d2），因為f（x） ≥0，所以判別式≤0，即4（b+c+d）2-12（b2+c2+d2）≤0，亦即 4（5-a）2-12（7-a2） ≤0，所以，2a2-5a+2≤0，所以1/2≤a≤2，a的取值范圍是[1/2，2]

五、在解決數學問題中應用函數思想的情況總結

運用函數思想解決數學問題，可以大致分為三種情況。第一種是通過合理的運用函數所具有的相關性質來解決與函數相關的問題；第二種是通過運用運動變化的思路來分析研究一些問題中數量間的變化關系，再通過函數的形式把相關關系用式子表達出來，再進一步進行研究，使問題更加明朗清晰。第三種是一些問題從表面上看并不是函數問題，但是可以通過一系列的數學變換、構造，把它轉化為函數的形式，再利用函數的性質對問題加以處理，最終使原來的問題得以順利解決。

在運用函數思想解決數學問題時，首先要學會合理轉化，構建數學模型，將實際問題用函數的語言表達出來，將函數作為解析的主導部分，再結合函數的性質，將復雜問題簡單化。

綜上所述，函數思想在解決高中數學問題中起著十分重要的作用，函數思想能夠讓同學們用運動變化的觀點來分析問題，建立起各個數據之間的聯系，而且函數思想還能化離散為連續，能夠更加清晰的揭示事物的本質，讓學生能快速找到解決問題的切入點。應用函數思想解決數學問題對培養學生的綜合能力和創造能力以及擴展學生思維也是功不可沒的。

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