電源電動勢和內阻的測量值與真實值關系分析

譚家業

測定電源的電動勢和內阻實驗是高考要求的實驗之一，而且近十年來，全國各地高考出現本實驗的次數很多。由于電源內阻不同，用伏安法測電源電動勢和內阻的電路圖一般有以下兩個。圖1稱為電流表“外接”法，圖2稱為電流表“內接”法。

圖1圖2圖3

本實驗通過改變滑動變阻器的阻值，從電流表、電壓表中讀出多組（U、I）值，其數據處理方法有兩種，其一，組合兩組U、I值（U1、I1）和（U2、I2），由U=E測-Ir測可得E測=I1U2-I2U11I1-I2、r測=U2-U11I1-I2。得到多個E測，r測后取平均值。其二，畫出U-I線（如圖3）求解E和r，根據公式U=E-Ir不難得到U-I線的縱截距即為電動勢E，而斜率的絕對值即為內阻r=|ΔU|1|ΔI|=E1I短。

本實驗的難點在于誤差分析，即真實值（E真，r真）與測量值（E測，r測）之間的大小關系。在近幾年的教學中，發現學生對這一問題普遍感覺到非常難，很多學生就算能夠記住結論，對其原因也是迷迷糊糊、一知半解的。所以筆者對實驗誤差作些分析探討。

一、公式計算法

實際上電流表和電壓表都是有內阻的，假設分別為RV和RA。

對于圖1，電壓表讀數U是真實的路端電壓，而真實的總電流應比電流表讀數I要大，應為I+U1RV，那么本實驗的真實值公式應該是U=E真-（I+U1RV）r真，最后推導得出E測=RV1RV+r真E真和r測=RV1（RV+r真）r真。可以得到E測

對于圖2，電流表讀數I是真實的總電流，而真實的路端電壓應比電壓表讀數U要大，應為U+IRA，那么本實驗的真實值公式應該是U=E真-I（RA+r真）。最后推導得出E測=E真和r測=RA+r真。仔細分析還可以得到r測是電流表與電源內阻的串聯阻值。

二、圖像分析法

圖4圖5外接法（圖1）是由于電壓表讀數真實，而電流表讀數偏小，導致誤差，I真=I測+U1RV，即對于相同的電壓U，真實值I真一定大于測量值I測，而且U越大，I真和I測之間的差值就越大，但當U=0即短路時，兩者相等，如圖4，如果直線①是根據U、I的測量值所作出的U-I圖線，直線②就是電源真實值反映的伏安特性曲線，由圖線可以很直觀地看出E測

內接法（圖2）是由于電流表讀數真實，而電壓表讀數偏小，導致誤差U真=U測+IRA，即對于相同的電流I，真實值U真一定大于測量值U測，而且I越大，U真和U測之間的差值就越大，但當I=0即開路時兩者相等。如圖5，如果直線①是根據U、I的測量值所作出的U-I圖線，直線②就是電源真實值反映的伏安特性曲線，由圖線可以很直觀地看出E測=E真，r測>r真。

三、等效電源法

圖6圖7

外接法（圖1）的實驗電路的誤差源于電壓表的不理想，那么可以理解為將實際電壓表等效為理想電壓表和內阻RV的并聯，然后將RV和電源并聯，看成一個“新電源”，如圖6所示。

這個新電源與外路斷路時，左右“兩極”間的電壓就是E測，它是電源內部工作時RV兩端的電壓，不難算出E測=RV1RV+r真E真。至于新內阻，它是新電源對外供電時，電流同時流過RV和r遇到的阻礙，即r和RV的并聯值：r測=RV1（RV+r真）r真。

內接法（圖2）實驗電路的誤差源于電流表的不理想因素，可以將實際的電流表等效為理想的電流表和內阻RA的串聯，然后將RA和電源串聯，看成一個“新電源”，如圖7所示。

測定電源的電動勢和內阻實驗是高考要求的實驗之一，而且近十年來，全國各地高考出現本實驗的次數很多。由于電源內阻不同，用伏安法測電源電動勢和內阻的電路圖一般有以下兩個。圖1稱為電流表“外接”法，圖2稱為電流表“內接”法。

圖1圖2圖3

本實驗通過改變滑動變阻器的阻值，從電流表、電壓表中讀出多組（U、I）值，其數據處理方法有兩種，其一，組合兩組U、I值（U1、I1）和（U2、I2），由U=E測-Ir測可得E測=I1U2-I2U11I1-I2、r測=U2-U11I1-I2。得到多個E測，r測后取平均值。其二，畫出U-I線（如圖3）求解E和r，根據公式U=E-Ir不難得到U-I線的縱截距即為電動勢E，而斜率的絕對值即為內阻r=|ΔU|1|ΔI|=E1I短。

本實驗的難點在于誤差分析，即真實值（E真，r真）與測量值（E測，r測）之間的大小關系。在近幾年的教學中，發現學生對這一問題普遍感覺到非常難，很多學生就算能夠記住結論，對其原因也是迷迷糊糊、一知半解的。所以筆者對實驗誤差作些分析探討。

一、公式計算法

實際上電流表和電壓表都是有內阻的，假設分別為RV和RA。

對于圖1，電壓表讀數U是真實的路端電壓，而真實的總電流應比電流表讀數I要大，應為I+U1RV，那么本實驗的真實值公式應該是U=E真-（I+U1RV）r真，最后推導得出E測=RV1RV+r真E真和r測=RV1（RV+r真）r真。可以得到E測

對于圖2，電流表讀數I是真實的總電流，而真實的路端電壓應比電壓表讀數U要大，應為U+IRA，那么本實驗的真實值公式應該是U=E真-I（RA+r真）。最后推導得出E測=E真和r測=RA+r真。仔細分析還可以得到r測是電流表與電源內阻的串聯阻值。

二、圖像分析法

圖4圖5外接法（圖1）是由于電壓表讀數真實，而電流表讀數偏小，導致誤差，I真=I測+U1RV，即對于相同的電壓U，真實值I真一定大于測量值I測，而且U越大，I真和I測之間的差值就越大，但當U=0即短路時，兩者相等，如圖4，如果直線①是根據U、I的測量值所作出的U-I圖線，直線②就是電源真實值反映的伏安特性曲線，由圖線可以很直觀地看出E測

內接法（圖2）是由于電流表讀數真實，而電壓表讀數偏小，導致誤差U真=U測+IRA，即對于相同的電流I，真實值U真一定大于測量值U測，而且I越大，U真和U測之間的差值就越大，但當I=0即開路時兩者相等。如圖5，如果直線①是根據U、I的測量值所作出的U-I圖線，直線②就是電源真實值反映的伏安特性曲線，由圖線可以很直觀地看出E測=E真，r測>r真。

三、等效電源法

圖6圖7

外接法（圖1）的實驗電路的誤差源于電壓表的不理想，那么可以理解為將實際電壓表等效為理想電壓表和內阻RV的并聯，然后將RV和電源并聯，看成一個“新電源”，如圖6所示。

這個新電源與外路斷路時，左右“兩極”間的電壓就是E測，它是電源內部工作時RV兩端的電壓，不難算出E測=RV1RV+r真E真。至于新內阻，它是新電源對外供電時，電流同時流過RV和r遇到的阻礙，即r和RV的并聯值：r測=RV1（RV+r真）r真。

內接法（圖2）實驗電路的誤差源于電流表的不理想因素，可以將實際的電流表等效為理想的電流表和內阻RA的串聯，然后將RA和電源串聯，看成一個“新電源”，如圖7所示。

測定電源的電動勢和內阻實驗是高考要求的實驗之一，而且近十年來，全國各地高考出現本實驗的次數很多。由于電源內阻不同，用伏安法測電源電動勢和內阻的電路圖一般有以下兩個。圖1稱為電流表“外接”法，圖2稱為電流表“內接”法。

圖1圖2圖3

本實驗通過改變滑動變阻器的阻值，從電流表、電壓表中讀出多組（U、I）值，其數據處理方法有兩種，其一，組合兩組U、I值（U1、I1）和（U2、I2），由U=E測-Ir測可得E測=I1U2-I2U11I1-I2、r測=U2-U11I1-I2。得到多個E測，r測后取平均值。其二，畫出U-I線（如圖3）求解E和r，根據公式U=E-Ir不難得到U-I線的縱截距即為電動勢E，而斜率的絕對值即為內阻r=|ΔU|1|ΔI|=E1I短。

本實驗的難點在于誤差分析，即真實值（E真，r真）與測量值（E測，r測）之間的大小關系。在近幾年的教學中，發現學生對這一問題普遍感覺到非常難，很多學生就算能夠記住結論，對其原因也是迷迷糊糊、一知半解的。所以筆者對實驗誤差作些分析探討。

一、公式計算法

實際上電流表和電壓表都是有內阻的，假設分別為RV和RA。

對于圖1，電壓表讀數U是真實的路端電壓，而真實的總電流應比電流表讀數I要大，應為I+U1RV，那么本實驗的真實值公式應該是U=E真-（I+U1RV）r真，最后推導得出E測=RV1RV+r真E真和r測=RV1（RV+r真）r真。可以得到E測

對于圖2，電流表讀數I是真實的總電流，而真實的路端電壓應比電壓表讀數U要大，應為U+IRA，那么本實驗的真實值公式應該是U=E真-I（RA+r真）。最后推導得出E測=E真和r測=RA+r真。仔細分析還可以得到r測是電流表與電源內阻的串聯阻值。

二、圖像分析法

圖4圖5外接法（圖1）是由于電壓表讀數真實，而電流表讀數偏小，導致誤差，I真=I測+U1RV，即對于相同的電壓U，真實值I真一定大于測量值I測，而且U越大，I真和I測之間的差值就越大，但當U=0即短路時，兩者相等，如圖4，如果直線①是根據U、I的測量值所作出的U-I圖線，直線②就是電源真實值反映的伏安特性曲線，由圖線可以很直觀地看出E測

內接法（圖2）是由于電流表讀數真實，而電壓表讀數偏小，導致誤差U真=U測+IRA，即對于相同的電流I，真實值U真一定大于測量值U測，而且I越大，U真和U測之間的差值就越大，但當I=0即開路時兩者相等。如圖5，如果直線①是根據U、I的測量值所作出的U-I圖線，直線②就是電源真實值反映的伏安特性曲線，由圖線可以很直觀地看出E測=E真，r測>r真。

三、等效電源法

圖6圖7

外接法（圖1）的實驗電路的誤差源于電壓表的不理想，那么可以理解為將實際電壓表等效為理想電壓表和內阻RV的并聯，然后將RV和電源并聯，看成一個“新電源”，如圖6所示。

這個新電源與外路斷路時，左右“兩極”間的電壓就是E測，它是電源內部工作時RV兩端的電壓，不難算出E測=RV1RV+r真E真。至于新內阻，它是新電源對外供電時，電流同時流過RV和r遇到的阻礙，即r和RV的并聯值：r測=RV1（RV+r真）r真。

內接法（圖2）實驗電路的誤差源于電流表的不理想因素，可以將實際的電流表等效為理想的電流表和內阻RA的串聯，然后將RA和電源串聯，看成一個“新電源”，如圖7所示。