淺談《幾何畫板》在中學數學輔助教學中的作用

秦柳銀

一、前言

數學教育不僅要培養學生計算、推理等邏輯思維能力，還要培養學生的直覺判斷、形象思維、預感試驗、分析歸納、綜合構建、假設檢驗等非常規形式的思維推理能力，只有這樣，學生的創造性素質才能提高.計算機輔助教學為實現這一數學教育思想創造了條件.《幾何畫板》因其入門容易和操作簡單，具有強大的圖形、圖像功能和方便的動畫功能，成為數學教學輔助軟件中的佼佼者.

使用《幾何畫板》輔助教學，能使課堂形象生動，學生感知鮮明，印象深刻，可使抽象的理論具體化、形象化，能幫助學生更好地把握學科的內在實質，培養他們的觀察能力、問題解決能力，并發展他們的思維能力.那么，《幾何畫板》在中學數學教學中有哪些具體作用？如何用《幾何畫板》優化數學課堂教學呢？下面筆者結合實例談談幾點體會.

二、《幾何畫板》有利于創設良好的教學情境

新課標突出了教育目的在于育人，教學不應只是“授人以魚”，更應是“授人以漁”.知識的學習并非是主體對客觀現實的、被動的、鏡面式的反映，而是一個主動的建構過程。因此，數學學科的教學重在引導學生走自主學習和探求知識之路.如何引導學生積極參與教學過程，使學生產生學習意向，引起認知需要，這就需要我們創設良好的教學情境.利用《幾何畫板》，我們可以把數學概念的形成過程充分地展現出來，還可以把“形”和“數”的潛在關系及其動態變化顯示出來，便于學生觀察和思考，使學生對知識形成主動建構，而非被動吸收.

圖1例如，在教學“三角形的中位線”時，可用《幾何畫板》作△ABC，分別取AB、AC的中點D、E，聯結DE（如圖1）.接著測算出DE、BC，∠ADE、∠AED、∠ABC、∠ACB等，甚至把AB、AC也測量出來（干擾觀察）.這些數據都動態地展現在屏幕上.然后讓學生觀察：你發現了什么？對于學生的任何發現，只要利用《幾何畫板》，拖動點A（或B或C），即可驗證其結論正確與否.這為激發學生的學習興趣，培養他們的觀察、想象、歸納等能力創設了極好的情境，增強了教學的主動性和學生的參與性.

圖2又如，在教學冪函數y=ax時，傳統教學一般是對a取有限幾個值作圖觀察后，就對其性質加以歸納概括.因為有限的幾個圖像無法讓學生對冪函數形成整體的認識，學生對冪函數的性質并不能很好的掌握.借助《幾何畫板》，我們可以畫出更多的冪函數圖像，讓學生進行對比觀察，還可以對a連續取值，使圖像動態變化（如圖2）.有了更多的圖像情境幫助思考，學生很容易觀察到a值的改變對圖像的影響.在此基礎上再讓學生對性質加以歸納，學生就能更好地掌握冪函數的本質.

三、《幾何畫板》有利于研究函數性質

數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微.”這句話不但深刻地揭示了數學中數與形之間的依存關系，還體現了辯證唯物主義的思想.把數形結合思想貫徹于數學學習過程的始終，是學好數學的關鍵之一.用《幾何畫板》能方便地作出各種函數圖像，使抽象的數學知識形象、直觀，因而它在研究函數性質方面有很大的優勢.

如，研究y=x2到y=（x+a）2+b的平移變換，如果簡單地告訴學生平移的規律，收效甚微.利用《幾何畫板》作出圖3，只要點擊按鈕，改變a或b的值，就可使y=（x+a）2+b的圖像左右或上下平移.學生通過反復觀察圖像移動與a、b的數量關系，就不難明白，當函數式中的a<0時，圖像右移，當a>0時，圖像左移；當b>0時，圖像上移，當b<0時，圖像下移.形象地顯現圖像的移動與參數a、b的關系，從而得出平移的規律.

圖3

圖4研究二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）在指定區間上的值域時，學生常犯的一個錯誤是將區間端點代入得函數值，比較大小后得到最值.這時，可以用《幾何畫板》來解釋錯誤的原因，作圖4，通過拖動點m、n，二次函數值域即相應改變（用圖中陰影部分表示），很容易說明最值不一定在端點處取得，需結合圖像進行觀察.

四、《幾何畫板》有利于研究立幾問題

在運動中保持不變的幾何關系是《幾何畫板》的精髓.畫板中的幾何圖形無論如何變化，圖形內部的幾何關系都不變，這恰恰是幾何學的實質，即在不斷變化的幾何圖形中，研究不變的幾何規律.

例如，三垂線定理的學習，用《幾何畫板》制作課件，把圖形運動引入到教學中，用動態的眼光來研究定理的形成、發展、應用和延拓等階段，從而摒棄靜態圖形的形狀、大小、位置對學生認知的干擾，獲得對定理深刻、全面的理解.在課件演示中，可以主要體現三種動態變化：一是改變斜線與平面所成角及斜線的位置，可讓斜線繞斜足旋轉或平移；二是平移平面上的直線，可以是經過斜足或垂足或它們之間或兩邊；三是平移或翻轉平面.讓學生接觸和認識變化后的圖形，從圖形變化中觀察定理是否仍然成立，從而揭示定理的本質：三垂線定理與直線在平面內的位置、平面的位置、斜線的位置無關，只與斜線、斜線在平面上的射影和平面內的直線的相互位置關系有關.通過這樣的學習，學生對于三垂線定理能有較好的掌握，并能在各種不同的情境中加以運用.

五、《幾何畫板》有利于研究軌跡方程

探索動點的運動規律是解析幾何教學的重點、難點.傳統的“粉筆+黑板”的教學手段，由于難以進行“動態”處理，“動點”只能用黑板上一個靜態的“定點”來加以表示，導致學生難以形成良好的運動觀.加之在多數情況下只有求出軌跡方程后，才知道軌跡的真正形狀，學習過程顯得抽象且乏味.《幾何畫板》中的動畫、追蹤、軌跡等功能，恰好填補了傳統教學在這一方面的空白，為軌跡方程的教學提供了良好的輔助.

圖5例如，在學習相關點法求軌跡方程的時候，有題目如下：點A是圓O：x2+y2=16上的動點，過A作x軸的垂線，垂足為M，取AM中點B，求點B的軌跡方程.學生對于相關點法的解題思路難以掌握，對于點A、B為何“相關”也不易理解.借助《幾何畫板》的動態演示功能，作圖（圖5），拖動點A，帶動點B運動，學生可以體會到點A、B的“相關性”.通過度量A、B的坐標，學生可以觀察到點A、B的橫坐標一致，而A的縱坐標是B的2倍，找到了A、B坐標的關系，為實現A、B坐標的相互轉化奠定了基礎，再引導學生思考如何把點A所受的限制轉化為點B的限制條件，學生就可以順利地把題目解決.還可以追蹤點B的軌跡，驗證所求軌跡方程的準確性.

六、《幾何畫板》有利于突破教學難點

人的認識是從具體到抽象，從感性到理性的過程，很多抽象的數學概念，因為缺少感性認識的基礎，學生學習起來很困難.借助《幾何畫板》的作圖功能和動態演示功能，可以講明白一些用傳統方法不易講解的內容，利于突破難點，從而提高教學效果.

圖6例如，在求函數值域的變式教學中，對于f（x）=x+11x（x>0）的值域，學生明白可以用基本不等式求解：y=x+11x≥2x·11x=2，當且僅當x=1的時等號成立，值域為[2，+∞）.若將條件變為“x≥2”，基本不等式失去了相等的條件，有學生認為既然無法相等，所以函數無最小值，值域應為（2，+∞）.這樣理解顯然是錯的，但用傳統方法較難解釋，若借助《幾何畫板》作出y=x+11x的圖像（如圖6），可以清楚地看出函數在[2，+∞）上為增函數，最小值應為f（2）=512，從而使學生清楚地認識到此時不能用基本不等式法求值域，可通過單調性來求解.

又如，直線的傾斜角與直線斜率的關系，僅通過關系式k=tanθ來認識并不夠.如圖7，用《幾何畫板》可以在同一個坐標系中動態地顯示當θ值變化時，k值的變化情況，把函數k=tanθ的圖像也顯示在屏幕上，這對于學生理解直線的斜率、傾斜角的內在聯系，增強教學效果是顯而易見的.

圖7七、結論

《幾何畫板》功能強大，使用起來卻非常簡單.它能創設良好的教學情境，激發學生學習興趣；它的數形結合功能，化抽象為形象，能幫助我們解決教學中的重點、難點；它在動態變化中保持不變的幾何性質，能揭示知識的內在聯系，便于把握問題的本質.它為數學課堂帶來了教學內容、教學方法、教學模式的深刻變革，大大地提高了課堂教學效率，給數學課堂帶來了勃勃生機.

（責任編輯黃桂堅）