淺談類比法在數學教學中的作用

陳仁鐘

隨著教育教學研究的進一步深入，傳統的教學法已不能適應現在教學的要求.如何提高課堂教學效率成為我們教育工作者面臨的主要研究課題.我們教師特別是高中數學教師應絞盡腦汁去研究如何提高課堂教學質量，向45分鐘的教學要效益，使學生在有限時間內，掌握更多的知識和技能，充分體現教與學的高度統一.數學教學方法很多，關鍵在于能不能適應學生.比如，在理科和文科的教學中方法不一定相同，特別在理科的教學中，教學生一種學習方法比教會學生解一百道題目效果更好.因為學生要學的科目多，時間非常有限，因此選擇恰當的教學方法至關重要.本人經過高中多年的教學，發現現在高中學生，各方面素質雖然提高了，但對于高考的學科來說，學生還是不那么得心應手.怎么解決這些問題？只有在課堂上下工夫.本人從教學中慢慢領悟到，有一些方法較為適應現在的教學，比如類比法.因為數學科是應用學科，數學知識本身不僅存在著前后聯系，相互滲透的關系，與其他學科也存在千絲萬縷的聯系.因此，運用類比法，把知識進行類比，引進新概念、新定理、新的解題方法，不僅會使學生更易掌握新知識，還可以培養學生運算能力、邏輯思維能力和空間想象力.以下談談類比法在教學中的作用.

一、運用類比法可以自然引入新概念

對數學概念的理解是學好數學的基礎，是培養學生能力的先決條件.課本中的概念有的非常簡單，也很抽象，這給課堂教學、學生的理解帶來諸多困難.用類比法引入概念，可使學生更容易理解新概念的內涵與外延.數學中許多概念有類似的地方，在新概念提出的過程中，運用類比法教學能使學生更易理解和掌握.比如講解“概率的基本性質”時，說到事件的關系與運算，就可以類比集合的關系和運算，恰當引入“交事件”“并事件”等有關概念.這樣，學生對知識理解就不會感那么困難了.再如，對球的概念的教學可與圓的概念進行比較.“在平面內與定點距離等于定長的點的集合是圓，定點是圓心，定長是半徑”；“在空間中與定點的距離等于定長的集合叫球，定點是球心，定長是半徑”.這樣我們在講授“球”這一概念時，可讓學生復習“圓”的概念，然后設問：如果我們把概念中的“平面”換成“空間”，會得到什么結果？讓學生進行想象、討論，這樣既能充分調動學生的積極性，也能使學生更好地理解與記憶，達到事半功倍的效果.

二、運用類比法有利于例題教學的講解

數學課范例的講解是不可缺少的，科學地進行解題教學，可以為學生提供發現創新的機會.類比不僅是一種從特殊到特殊的對比，也是一種解題的有效方法.選擇一個類似的、較易的問題去解決它，這對數學教學中培養學生的能力有著極其重要的作用.比如，在講解“一元二次不等式”時，由于學生剛剛接觸不等式，對不等式本來就不是很熟悉，對不等式的解法也感到陌生.如果照本宣科，學生可能會感到有些模糊，甚至無法弄清到底怎樣著手.為了讓學生從根本上弄清一元二次不等式的解法，能明白其中的算理，真正掌握學習的方法，講授內容時，我們可以先讓學生熟悉一元二次方程的解法和一元二次函數圖像，具體如下.例：解不等式x2-2x-3<0，可先讓學生解方程x2-2x-3=0，得x1=3，x2=-1，再結合y=x2-2x-3圖像，可知y=x2-2x-3在坐標系中與x軸有兩個交點，即（-1，0）（3，0），結合圖像易得圖像下方，即x2-2x-3<0，x的范圍是：-1

三、運用類比法有利于提高學生的思維能力

學生要想提高思維能力，一定要有相當的基礎知識作為保證，因為知識量越大，則聯系、類比、想象的領域也就越寬廣，從而產生新思想、新方法的機會也就越多.很難想象，知識狹窄的人能有多大的思維能力.學數學，解數學題目也是如此.因為數學題目之間有些結構極其相似，而將待證的條件和結論類比已知學過的公式，進行適當的代換，從而使問題迎刃而解.比如：已知a2+b2=1，c2+d2=1，求證|c+bd|≤1.解這道題目時，如果我們知道同角三角基本公式中的平方關系式“sin2α+cos2α=1”與其相似，那么很快就會聯想，若令a=sinα，b=cosα，c=cosβ，然后進行代換，很快就會證出.數學思維能力的培養與學習其他科學知識一樣，首先需要熟練地掌握一些基本知識、基本技能，這樣知識與知識之間才能相互聯系，形成脈絡，把新知識納入原有知識的結構中，加強了知識間的縱向溝通.而類比法則成為聯系新舊知識的紐帶.

四、類比法可以有效培養學生的創造能力

一個人要想有所發明、創造，就離不開知識的提升.許多中學生，對教師的依賴性很強，教師教什么，他就學什么，缺乏自己獨到的見解。原本的問題稍為改變一些或條件換了一下，學生就感到束手無策，更談不上發明創造了.教學中，如果能恰當地使用類比法，不僅能突出問題的本質，提高教學質量，而且能培養學生的創造能力.

1.新舊知識可以類比

這種類比，教材中出現比較多，在講授知識的同時，經常聯系舊知識，創造條件進行類比，拓展學生思路，培養學生進行類比推理的習慣.比如，在數列這一章節中，等差數列與等比數列是兩個重要的概型.它們的定義、通項公式、前n項和公式的性質都是平行的，等比數列又安排在等差數列之后，為了既能弄清兩種數列模型之間的區別與聯系，又能準確、靈活地運用數學知識解決問題，在教學中可以類比等差數列的相關知識，創造條件引導學生提出研究等比數列的相關問題.又如，指數函數與對數函數，這兩種函數在概念、性質方面也是平行的，也可以進行類比教學，這樣有利于弄清它們之間的區別與聯系.通過知識與知識之間的類比，既有利于學生對知識的理解，又會使知識之間融會貫通，提高學生的思維能力和解決問題的能力，有利于學生創造能力的發展.

2.“同類問題”可以進行類比

所謂“同類問題”指的是有相同條件、相同結論、相同問題形式、相同數學方法的一類問題.同類問題的類比可以使學生從感性認識出發，認清數學問題的本質特征，形成積極探索問題的心理狀態，進而去探索一般結論，達到尋根探源的目的.例如，在△ABC中，若AB⊥AC，AB=a，AC=b，則△ABC的外接圓半徑r=a2+b212.將此結論類比到空間幾何圖形，可以得出這樣結論：在四面體S—ABC中，若SA、SB、SC兩兩互相垂直，且SA=a，SB=b，SC=c，則四面體S—ABC的外接球半徑R=a2+b2+c212.又如，在高三數學復習中，經常會遇到這樣的填充題：“若兩個正實數a1、a2滿足a21+a22=1，那么a1+a2≤2，證明：構造函數f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2=2x2-2（a1+a2）x+1，因為對一切實數x恒有f（x）≥0，所以Δ≤0，從而得4（a1+a2）2-8≤0，所以a1+a2≤2.根據上述證明方法，若有n個正實數a1，a2，…，an滿足a21+a22+…+a2n=1，你能得到的結論是.”對于這種問題，我們只要類比它們的證明過程，找出問題的本質，不難得到結論：a1+a2+…+an≤n.諸如此類，可以真正提高學生的思維能力，提高學生解題的創造力.

3.運用類比有利于運用數形結合方法

數學學習沒有一定的速度將是無效學習.慢慢騰騰的學習是訓練不出思維速度的，特別在考試中，解題速度至關重要.這就要求學生在學習中一定要掌握恰當的解題方法，否則將功虧一簣.比如，求y=sinx-31cosx-2的最值，可以聯想在直線方程的教學中有這樣的斜率公式k=y2-y11x2-x1，這時就可以把式子y=sinx-31cosx-2看做是動點P（cosx，sinx）與點（2，3）之間的斜率變化范圍，即圓x2+y2=1上的點到定點（2，3）的直線斜率變化范圍，問題就易得到解決.再如，對任意實數x1，y1，x2，y2，證明x21+y21+x22+y22≥（x1-x2）2-（y1-y2）2.本題純粹是代數問題，若用代數方法解之相當繁雜，這時聯想到平面上兩點間的距離公式，把上式中的式子x21+y21，x22+y22看做是點P1（x1，y1），P2（x2，y2）到原點的距離，那么在△P1OP2中，利用“三角形兩邊之和大于第三邊”，問題就輕而易舉地解決了.像這樣運用數形結合可以有效提高解題速度.數形結合是一種重要的數學思想，通俗地說就是代數與幾何相結合的思想，是學習數學、解決數學問題的重要工具，我們在教學中要適時運用，適當滲透.

總之，在我們教學和生活中處處充滿著類比，可以說，類比是探索問題、解決問題的一種卓有成效的方法，也是數學教學中不可缺少的一種手段.我們教師在教學過程中應培養學生運用類比思想進行合理的推理、演算、引申，為國家、社會培養出更多合格的、有創造力的人才.

（責任編輯黃桂堅）